- (Relação Predador-Presa) O modelo predador-presa da ecologia da ecologia estuda a relação entre espécies que vivem na mesma região. Uma das espécies (o predador) se alimenta da outra (a presa), que se alimenta de vegetais ou outra fonte abundante de comida. As populações das duas espécies muitas vezes variam periodicamente com o tempo.
Suponha que uma população de raposas (predadores),
, e uma população de lebres (presas),
, são descritas pelas funções
onde
e
são constantes e o tempo
está em anos. Suponha ainda que as populações máxima e mínima de raposas são de 54 e 16 animais e que as populações máxima e mínima de lebres são de 581 e 261 animais.
(a) Use essas informações para calcular os valores de
e
. Qual é o período do ciclo de população das duas espécies?
(b) Qual é a população de lebres quando a população de raposas é máxima? E quando a população de raposas é mínima?
(c) Qual é a populaçnao de raposas quando a população de lebres é máxima? E quando a população de lebres é minima?
(d) Desenhe, no mesmo gráfico, as curvas das duas populações em função do tempo para
.
(a) Use essas informações para calcular os valores de
(b) Qual é a população de lebres quando a população de raposas é máxima? E quando a população de raposas é mínima?
(c) Qual é a populaçnao de raposas quando a população de lebres é máxima? E quando a população de lebres é minima?
(d) Desenhe, no mesmo gráfico, as curvas das duas populações em função do tempo para
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo predador-presa com
sabendo que
,
,
e
. Vamos encontrar
e o período do ciclo.
Passo 2
Para
temos
Somando e subtraindo:
Passo 3
Para
temos
Somando e subtraindo:
O período
satisfaz
, logo
Passo 4
Quando
é máxima,
, ou seja
. Então
Quando
é mínima,
e
, dando também
.
Passo 5
Quando
é máxima,
(
), então
Quando
é mínima,
(
), e
, logo
.
Passo 6
Para esboçar no mesmo gráfico (
), marque os pontos:
t :
t :
t :
Em seguida, ligue suavemente formando duas curvas senoidais de período , defasadas de
rad.
t
t
t
Em seguida, ligue suavemente formando duas curvas senoidais de período
Resposta
(a)
. Período
anos.
(b) População de lebres é quando raposas está em máximo e também
no mínimo.
(c) População de raposas é quando lebres está em máximo e também
no mínimo.
(d) Gráfico senoidal com os pontos principais em , conforme descrito acima.
(b) População de lebres é
(c) População de raposas é
(d) Gráfico senoidal com os pontos principais em