1. (Relação Predador-Presa) O modelo predador-presa da ecologia da ecologia estuda a relação entre espécies que vivem na mesma região. Uma das espécies (o predador) se alimenta da outra (a presa), que se alimenta de vegetais ou outra fonte abundante de comida. As populações das duas espécies muitas vezes variam periodicamente com o tempo.
Suponha que uma população de raposas (predadores), R(t), e uma população de lebres (presas), L(t), são descritas pelas funções
& R(t)=A+B sen(pi t24) & L(t)=C+D cos (pi t24)
onde A, B, C e D são constantes e o tempo t está em anos. Suponha ainda que as populações máxima e mínima de raposas são de 54 e 16 animais e que as populações máxima e mínima de lebres são de 581 e 261 animais.
(a) Use essas informações para calcular os valores de A, B, C e D. Qual é o período do ciclo de população das duas espécies?
(b) Qual é a população de lebres quando a população de raposas é máxima? E quando a população de raposas é mínima?
(c) Qual é a populaçnao de raposas quando a população de lebres é máxima? E quando a população de lebres é minima?
(d) Desenhe, no mesmo gráfico, as curvas das duas populações em função do tempo para 0 <= t <= 25.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo predador-presa com
R(t)=A+Bsin!l(tfracpi t24r), L(t)=C+Dcos!l(tfracpi t24r),
sabendo que max R=54, min R=16, max L=581 e min L=261. Vamos encontrar A,B,C,D e o período do ciclo.

Passo 2

Para R(t) temos
A+B=max R=54, A-B=min R=16
Somando e subtraindo:
2A=54+16=70implies A=35, 2B=54-16=38implies B=19

Passo 3

Para L(t) temos
C+D=max L=581, C-D=min L=261
Somando e subtraindo:
2C=581+261=842implies C=421, 2D=581-261=320implies D=160
O período T satisfaz pi T24=2pi, logo
T=48 anos

Passo 4

Quando R é máxima, sin(tfracpi t24)=1, ou seja tfracpi t24=tfracpi2+2pi k. Então
L=421+160cos!l(tfracpi2+2pi kr) =421+160cdot0=421
Quando R é mínima, sin(tfracpi t24)=-1 e cos(tfrac3pi2+2pi k)=0, dando também L=421.

Passo 5

Quando L é máxima, cos(tfracpi t24)=1 ( tfracpi t24=2pi k), então
R=35+19sin(2pi k)=35+19cdot0=35
Quando L é mínima, cos(tfracpi t24)=-1 ( tfracpi t24=pi+2pi k), e sin(pi+2pi k)=0, logo R=35.

Passo 6

Para esboçar no mesmo gráfico ( 0<= t<=25), marque os pontos:
t =0: (R,L)=(35,581))
t =12: (R,L)=(54,421)
t =24: (R,L)=(35,261)
Em seguida, ligue suavemente formando duas curvas senoidais de período 48, defasadas de tfracpi2 rad.

Resposta

(a) A=35,;B=19,;C=421,;D=160. Período T=48 anos.
(b) População de lebres é 421 quando raposas está em máximo e também 421 no mínimo.
(c) População de raposas é 35 quando lebres está em máximo e também 35 no mínimo.
(d) Gráfico senoidal com os pontos principais em t=0,12,24, conforme descrito acima.

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