Usando o método de frações parciais, calcular as seguintes integrais:
  • integral 6x^2-x-2 d x.
  • integral 3 x-1x^2-5 x+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais de funções racionais usando o método de frações parciais. A matéria envolvida é integração de funções racionais, e o que precisamos fazer é:
  1. fatorar o denominador em fatores lineares,
  2. decompor a função em frações simples,
  3. integrar termo a termo usando integral 1x-adx = ln|x-a| + C.

Passo 2

Vamos à primeira integral
O denominador fatora como
Logo, fazemos a decomposição
Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes de e termos constantes:
Dessa forma .

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 6x^2-x-2,dx = integral l(2x-2 - 2x+1r),dx = 2ln|x-2| - 2ln|x+1| + C

Passo 4

Agora a segunda integral
integral 3x-1x^2-5x+4,dx
O denominador fatora como
x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)
Fazemos a decomposição
3x-1(x-1)(x-4) = Ax-1 + Bx-4,
que leva a
A(x-4) + B(x-1) = 3x-1
Comparando coeficientes:
A + B = 3, -4A - B = -1,
resultando em A = -tfrac23 e B = tfrac113.

Passo 5

Integrando cada termo, obtemos
integral 3x-1x^2-5x+4,dx = integral l(-tfrac23,1x-1 + tfrac113,1x-4r),dx = -tfrac23ln|x-1| + tfrac113ln|x-4| + C

Resposta

integral 6x^2-x-2,dx = 2ln|x-2| - 2ln|x+1| + C
integral 3x-1x^2-5x+4,dx = -tfrac23ln|x-1| + tfrac113ln|x-4| + C

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