Exercício 5. Rotação para Eliminar o Termo Misto e Invariantes: Dada a equação da cônica
x^{2}-2 x y+y^{2}-4 \sqrt{2} x=0 .
  • Determine o ângulo \theta de rotação necessário para eliminar o termo misto (xy).
  • Calcule os invariantes I_{1} e I_{2} para a equação original.
  • Use o ângulo de rotação \theta para escrever a nova equação da cônica no sistema rotacionado ( u, v ).

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x^{2}-2xy+y^{2}-4\sqrt{2}\,x=0
e pede três coisas:
  • Determinar o ângulo \theta de rotação que elimina o termo misto xy.
  • Calcular os invariantes I_{1} e I_{2} da parte quadrática da cônica.
  • Usar o ângulo \theta para escrever a equação da cônica no sistema rotacionado (u,v).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes da forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0:
    • A=1,
    • B=-2,
    • C=1,
    • D=-4\sqrt{2},
    • E=0,
    • F=0.

Passo 2

Breve aula: invariantes da parte quadrática.
  • Para a parte quadrática representada pela matriz Q=\begin{pmatrix}A & B/2\\[4pt] B/2 & C\end{pmatrix},definem-se dois invariantes (mantidos por rotações ortogonais):
    • I_{1}=\operatorname{tr}(Q)=A+C (soma dos autovalores),
    • I_{2}=\det(Q)=AC-\left(\dfrac{B}{2}\right)^{2} (produto dos autovalores).
  • Esses invariantes ajudam a identificar o tipo de cônica (por exemplo, se I_{2}=0 geralmente indica uma parábola, dependendo também dos termos lineares).
Vou calcular I_{1} e I_{2} com os coeficientes identificados no Passo 1.]

Passo 3

Cálculo dos invariantes:
I_{1}=A+C=1+1=2.
I_{2}=AC-\left(\dfrac{B}{2}\right)^{2}=1\cdot1-\left(\dfrac{-2}{2}\right)^{2}=1-(-1)^{2}=1-1=0.
Interpretação curta (didática): I_{2}=0 indica que a matriz quadrática tem determinante zero, ou seja, um dos autovalores é zero — isso já sugere que a cônica é uma parábola (a confirmar ao reduzir a equação).

Passo 4

Teoria e dedução da fórmula do ângulo de rotação.
  • Ao fazer a rotação \begin{cases} x = u\cos\theta - v\sin\theta,\\[4pt] y = u\sin\theta + v\cos\theta, \end{cases}o coeficiente do termo misto uv na nova equação (que chamamos de B') fica B'=(C-A)\sin 2\theta + B\cos 2\theta.
  • Para eliminar o termo misto queremos B'=0. Assim: (C-A)\sin 2\theta + B\cos 2\theta = 0que leva a \tan 2\theta = \frac{B}{A-C}.
  • Observação de caso especial: se A=C, o denominador é zero e \tan 2\theta é infinito, logo 2\theta=\pm\tfrac{\pi}{2}+k\pi, ou seja \theta=\pm\tfrac{\pi}{4}+k\tfrac{\pi}{2}.
No nosso problema A=C=1 e B=-2, logo estamos no caso especial com A=C.]

Passo 5

Determinar \theta no nosso caso.
  • Como A=C, temos 2\theta=\pm\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Escolhemos a solução principal 2\theta=\tfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=\tfrac{\pi}{4},(ou, alternativamente, \theta=-\tfrac{\pi}{4}; ambas eliminam o termo misto — usar \theta=\tfrac{\pi}{4} é conveniente).
  • Valores trigonométricos úteis: \cos\theta=\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Usar \theta=\tfrac{\pi}{4} e fazer a substituição para obter a nova equação.
  • Primeiro note uma simplificação elegante: a parte quadrática original é x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}.
  • Calcular x-y em termos de u,v: x-y=(u\cos\theta - v\sin\theta) - (u\sin\theta + v\cos\theta)com \cos\theta=\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, isto dá x-y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(u-v) - \dfrac{\sqrt{2}}{2}(u+v)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big((u-v)-(u+v)\big)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(-2v)=-\sqrt{2}\,v.
  • Então a parte quadrática fica (x-y)^{2}=(-\sqrt{2}\,v)^{2}=2v^{2}.
  • Agora a parte linear -4\sqrt{2}\,x: -4\sqrt{2}\,x = -4\sqrt{2}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}(u-v)\right) = -4\cdot\frac{2}{2}(u-v) = -4(u-v).Ou seja, -4\sqrt{2}\,x = -4u +4v.
  • Juntando tudo na equação original: 2v^{2} -4u +4v =0.
  • Podemos simplificar dividindo por 2: v^{2} + 2v - 2u = 0.
  • Se quisermos uma forma tipo vértice (com completamento do quadrado) para ver claramente que é uma parábola: v^{2}+2v=(v+1)^{2}-1,então v^{2}+2v-2u=0 \quad\Longrightarrow\quad 2u = (v+1)^{2}-1,ou u=\tfrac{1}{2}(v+1)^{2}-\tfrac{1}{2}.Isso mostra explicitamente que, no sistema (u,v), a curva é uma parábola com eixo paralelo ao eixo u.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{4} (pode-se tomar também \theta=-\dfrac{\pi}{4}).
I_{1}=2,\; I_{2}=0.
Equação no sistema rotacionado (u,v): v^{2}+2v-2u=0 (ou, em forma vértice, u=\tfrac{1}{2}(v+1)^{2}-\tfrac{1}{2}).

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