Exercício 5. Rotação para Eliminar o Termo Misto e Invariantes: Dada a equação da cônica
- Determine o ângulo
de rotação necessário para eliminar o termo misto (xy).
- Calcule os invariantes
e
para a equação original.
- Use o ângulo de rotação
para escrever a nova equação da cônica no sistema rotacionado (
).
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede três coisas:
- Determinar o ângulo
de rotação que elimina o termo misto . - Calcular os invariantes
e da parte quadrática da cônica. - Usar o ângulo
para escrever a equação da cônica no sistema rotacionado .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Coeficientes da forma geral
: -
, -
, -
, -
, -
, -
.
-
Passo 2
Breve aula: invariantes da parte quadrática.
- Para a parte quadrática representada pela matriz
definem-se dois invariantes (mantidos por rotações ortogonais): -
(soma dos autovalores), -
(produto dos autovalores).
-
- Esses invariantes ajudam a identificar o tipo de cônica (por exemplo, se
geralmente indica uma parábola, dependendo também dos termos lineares).
Vou calcular
e
com os coeficientes identificados no Passo 1.]
Passo 3
Cálculo dos invariantes:
Interpretação curta (didática):
indica que a matriz quadrática tem determinante zero, ou seja, um dos autovalores é zero — isso já sugere que a cônica é uma parábola (a confirmar ao reduzir a equação).
Passo 4
Teoria e dedução da fórmula do ângulo de rotação.
- Ao fazer a rotação
o coeficiente do termo misto na nova equação (que chamamos de ) fica - Para eliminar o termo misto queremos
. Assim: que leva a - Observação de caso especial: se
, o denominador é zero e é infinito, logo , ou seja .
No nosso problema
e
, logo estamos no caso especial com
.]
Passo 5
Determinar
no nosso caso.
- Como
, temos . Escolhemos a solução principal (ou, alternativamente, ; ambas eliminam o termo misto — usar é conveniente). - Valores trigonométricos úteis:
.
Passo 6
Usar
e fazer a substituição para obter a nova equação.
- Primeiro note uma simplificação elegante: a parte quadrática original é
- Calcular
em termos de : com , isto dá - Então a parte quadrática fica
- Agora a parte linear
: Ou seja, - Juntando tudo na equação original:
- Podemos simplificar dividindo por
: - Se quisermos uma forma tipo vértice (com completamento do quadrado) para ver claramente que é uma parábola:
então ou Isso mostra explicitamente que, no sistema , a curva é uma parábola com eixo paralelo ao eixo .
Resposta
Equação no sistema rotacionado