Com relação a solução do problema de valor inicial:
l2 y^prime prime+y^prime-4 y=0 y(0)=0 y^prime(0)=1
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção:
y 1 quando t infty
y 0 quando t infty
y infty quando t infty
y -infty quando t infty
Nenhuma das demais alternativas
y -1 quando t infty

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial dado por
2y''+y'-4y=0, y(0)=0, y'(0)=1
Este é um EDO linear homogeneamente de 2ª ordem com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica para achar a solução geral e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
2r^2+r-4=0
Resolvendo-a pelo discriminante temos
r=-1pmraiz1+324=-1pmraiz334
Logo as raízes são
r1=-1+raiz334, r2=-1-raiz334

Passo 3

A solução geral da EDO é
y(t)=C1e^r1t+C2e^r2t

Passo 4

Agora impomos as condições iniciais. De y(0)=0 vem
C1+C2=0implies C2=-C1
E de y'(0)=1 temos
y'(t)=C1r1e^r1t+C2r2e^r2timplies C1r1+C2r2=1

Passo 5

Substituindo C2=-C1 na segunda condição:
C1(r1-r2)=1implies C1=1r1-r2=2raiz33, C2=-2raiz33
Então
y(t)=2raiz33l(e^r1t-e^r2tr)

Passo 6

Para ttoinfty, como r1>0 e r2<0, o termo e^r1t domina e cresce exponencialmente, enquanto e^r2t vai a zero. Logo
y(t)sim2raiz33e^r1tto+infty

Resposta

y \rightarrow \infty \quad quando \quad t \rightarrow \infty

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