Considere a seguinte equação diferencial
Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções dessa equação?
Escolha uma opção:
e
e
e
e
Nenhuma das demais alternativas
e
Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções dessa equação?
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma equação diferencial de segunda ordem e nos pede para encontrar qual par de soluções forma um conjunto fundamental de soluções dessa equação. Isso significa que precisamos identificar duas soluções que são linearmente independentes e que, juntas, descrevem todas as soluções possíveis da equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
Como os coeficientes da equação dependem de $ t $, uma abordagem comum é assumir que a solução tem a forma $ y = t^{r} $, onde $ r $ é um número que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos substituir $ y = t^{r} $ na equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as derivadas de $ y $:
Substituindo esses valores na equação:
Simplificando cada termo:
Observamos que todos os termos têm $ t^{r} $, então podemos fatorar:
Como $ t^{r} \neq 0 $ para $ t > 0 $, temos:
Passo 4
Vamos resolver a equação algébrica para $ r $:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ a r^{2} + b r + c = 0 $:
Aqui, $ a = 2 $, $ b = 1 $ e $ c = -1 $:
Isso nos dá duas soluções para $ r $:
Passo 5
Com os valores de $ r $ encontrados, as soluções da equação diferencial são:
Essas duas soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação dada.
Resposta
O par de soluções $ y_{1}(t) = t^{\frac{1}{2}} $ e $ y_{2}(t) = t^{-1} $ forma um conjunto fundamental de soluções dessa equação diferencial.