Considere a seguinte equação diferencial
2 t^2 y^prime prime+3 t y^prime-y=0, t>0
Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções dessa equação?
Escolha uma opção:
y1(t)=t^12 e y2(t)=t^-1 y1(t)=t^-32 e y2(t)=t^-2
circ
y1(t)=t^-14 e y2(t)=t^-1
y1(t)=t^-12 e y2(t)=t^-2
Nenhuma das demais alternativas
y1(t)=t^13 e y2(t)=t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão apresenta uma equação diferencial de segunda ordem e nos pede para encontrar qual par de soluções forma um conjunto fundamental de soluções dessa equação. Isso significa que precisamos identificar duas soluções que são linearmente independentes e que, juntas, descrevem todas as soluções possíveis da equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
2 t^2 y'' + 3 t y' - y = 0, t > 0
Como os coeficientes da equação dependem de $ t $, uma abordagem comum é assumir que a solução tem a forma $ y = t^{r} $, onde $ r $ é um número que precisamos determinar.

Passo 3

Vamos substituir $ y = t^{r} $ na equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as derivadas de $ y $:
y = t^r
y
Substituindo esses valores na equação:
y' = r t^r - 1
Simplificando cada termo:
y'' = r (r - 1) t^r - 2
Observamos que todos os termos têm $ t^{r} $, então podemos fatorar:
2 t^2 cdot r (r - 1) t^r - 2 + 3 t cdot r t^r - 1 - t^r = 0
Como $ t^{r} \neq 0 $ para $ t > 0 $, temos:
2 r (r - 1) t^r + 3 r t^r - t^r = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação algébrica para $ r $:
r
2 r^2 - 2 r + 3 r - 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ a r^{2} + b r + c = 0 $:
2 r^2 + r - 1 = 0
Aqui, $ a = 2 $, $ b = 1 $ e $ c = -1 $:
a r^2 + b r + c = 0
r = -b pm raizb^2 - 4 a c 2 a
a = 2
Isso nos dá duas soluções para $ r $:
b = 1
c = -1

Passo 5

Com os valores de $ r $ encontrados, as soluções da equação diferencial são:
r
y1(t) = t^12
Essas duas soluções são linearmente independentes e formam um conjunto fundamental de soluções para a equação dada.

Resposta

O par de soluções $ y_{1}(t) = t^{\frac{1}{2}} $ e $ y_{2}(t) = t^{-1} $ forma um conjunto fundamental de soluções dessa equação diferencial.

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