Com relação a solução do problema de valor inicial:
Qual dos seguintes comportamentos limites é uma característica dessa solução:
Escolha uma opção: y -infty quando t infty y 1 quando t infty
Nenhuma das demais alternativas y -1 quando t infty y infty quando t infty y 35 quando t infty
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou fala sobre um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem. A gente vai precisar saber como resolver esse tipo de equação usando a equação característica e também entender o que acontece com a solução quando o tempo $ t $ vai pra infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que a gente tem:
y'' + 5y' + 3y = 0
Aqui, $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $, $ y’ $ é a primeira derivada, e $ y $ é a função que queremos encontrar.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente usa a equação característica. A gente assume uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante que vamos descobrir. Substituindo na equação diferencial:
y = e^rt
Como $ e^{rt} $ nunca é zero, podemos simplificar:
r
Passo 4
Agora, precisamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 5r + 3 = 0 $. Usando a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 5r + 3 = 0
Onde $ a = 1 $, $ b = 5 $, e $ c = 3 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, as raízes são:
a = 1
Passo 5
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente determina usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos usar as condições iniciais:
y(0) = 1 e y'(0) = 0
Primeiro, aplicando $ y(0) = 1 $:
y(0) = 1
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada de $ y(t) $:
y(t)
Aplicando $ y’(0) = 0 $:
y'(t) = C1 r1 e^r1 t + C2 r2 e^r2 t
Passo 8
Temos agora um sistema de equações:
C1 + C2 = 1 C1 r1 + C2 r2 = 0
Resolvendo esse sistema, encontramos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $. Mas para o nosso objetivo, que é analisar o comportamento quando $ t \rightarrow \infty $, não precisamos calcular exatamente esses valores.
Passo 9
Vamos observar as raízes $ r_1 $ e $ r_2 $. Ambas são negativas porque:
r1
r2
Como ambas as raízes são negativas, os termos $ e^{r_1 t} $ e $ e^{r_2 t} $ vão decair para zero quando $ t $ vai para infinito.
Passo 10
Então, a solução geral $ y(t) $ é a soma de dois termos que vão para zero:
y(t)
Passo 11
Comparando com as opções dadas, a única alternativa que corresponde a $ y(t) $ tendendo a zero é “Nenhuma das demais alternativas”, já que nenhuma das opções sugere que $ y $ tende a zero.