Qual a relação entre a tensão e corrente em um:
capacitor ? Ilustre graficamente esse comportamento.

Passo 1

O enunciado pede a relação fundamental entre tensão v(t) e corrente i(t) em um capacitor, além de uma ilustração gráfica desse comportamento. O conteúdo aqui é análise de circuitos em regime transitório e senoidal, usando as leis de componentes elétricos e derivadas/integral.

Passo 2

Para um capacitor ideal de capacitância C, a carga armazenada é dada por
q(t)=C\,v(t).
Como corrente é a taxa de variação da carga, temos
i(t)=\frac{dq(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(C\,v(t)\bigr)=C\frac{dv(t)}{dt}.

Passo 3

Invertendo a relação acima, expressamos a tensão em função da corrente:
v(t)=\frac{1}{C}\int_{t_{0}}^{t}i(\tau)\,d\tau + v(t_{0}),
onde v(t_{0}) é a tensão inicial no capacitor.

Passo 4

Em regime senoidal estacionário, suponha
v(t)=V_{m}\sin(\omega t).
Então
i(t)=C\,\frac{d}{dt}\bigl[V_{m}\sin(\omega t)\bigr] = C\,V_{m}\,\omega\cos(\omega t) = C\,V_{m}\,\omega\sin\bigl(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\bigr).
Isso mostra que, para sinais senoidais, a corrente i(t) adianta a tensão v(t) em 90^\circ.

Passo 5

Graficamente, em função do tempo, as duas ondas ficam assim:
\begin{array}{l} v(t)=V_{m}\sin(\omega t),\\[6pt] i(t)=C\,V_{m}\,\omega\sin\!\bigl(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\bigr). \end{array}
No gráfico, quando v(t) cruza zero subindo, i(t) já atingiu seu máximo positivo: a corrente “puxa” a tensão, antecipando-se em 90^\circ.]

Resposta

A relação fundamental é
\boxed{i(t)=C\,\frac{dv(t)}{dt}}
ou equivalentemente
\boxed{v(t)=\frac{1}{C}\int i(t)\,dt + v(t_{0}).}
Em regime senoidal, i(t) adianta v(t) em 90^\circ, conforme ilustrado pelos gráficos de seno e cosseno acima.

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