Qual a relação entre as tensões de cisalhamento e o torque T ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual a relação entre as tensões de cisalhamento \tau em uma barra de seção transversal qualquer e o torque aplicado T. O conteúdo é Torsão em barras prismáticas e vamos usar equilíbrio de torques e o momento polar de inércia da seção transversal.

Passo 2

Considere um elemento infinitesimal de área \dif A situado a uma distância r do eixo de torção. A tensão de cisalhamento local \tau(r) age tangencialmente, gerando um momento diferencial
\dif T = \tau(r)\,r\,\dif A.

Passo 3

Para manter o equilíbrio estático, o torque total T é a soma (integração) desses momentos diferenciais em toda a seção A:
T \;=\;\int_{A}\tau(r)\,r\,\dif A.

Passo 4

Definimos o momento polar de inércia da área como
J \;=\;\int_{A}r^{2}\,\dif A.
Para prosseguir, supomos que a distribuição de tensões varia linearmente com r:
\tau(r) = k\,r,
onde k é uma constante a determinar.

Passo 5

Substituindo \tau(r)=k\,r na expressão de T:
T = \int_{A}(k\,r)\,r\,\dif A = k\int_{A}r^{2}\,\dif A = k\,J.
Portanto,
k = \frac{T}{J}
e a lei de distribuição de tensões de cisalhamento fica
\tau(r) = \frac{T}{J}\,r.

Resposta

\tau(r) = \frac{T\,r}{J},
sendo J = \int_{A}r^{2}\,\dif A o momento polar de inércia da seção transversal.

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