O que representa o momento polar de inércia \mathbf{J} ? que significado físico ele tem? Que efeitos ele tem para a determinação do torque “T” (equação 5.5)?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é o momento polar de inércia \mathbf{J}, qual o seu significado físico e como ele entra na determinação do torque T na “equação 5.5”. O conteúdo é aquele de resistência dos materiais / mecânica dos sólidos, mais precisamente a teoria da torção de eixos.

Passo 2

O momento polar de inércia \mathbf{J} é uma propriedade geométrica da seção transversal de um corpo em torção, definido por
\mathbf{J} \;=\;\int_{A} r^{2}\,dA
onde A é a área da seção perpendicular ao eixo de torção e r é a distância de cada elemento de área dA ao eixo. No caso de uma seção circular de raio R, por exemplo,
\mathbf{J}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R}r^{2}\,r\,dr\,d\theta =\frac{\pi\,R^{4}}{2}\,.

Passo 3

Fisicamente, \mathbf{J} mede como a área está “distante” do eixo de torção. Quanto maior \mathbf{J}, mais difícil é torcer o eixo. Em outras palavras, \mathbf{J} quantifica a rigidez à torção: se você aplicar um dado torque, um eixo com \mathbf{J} grande vai girar menos (menor ângulo de torção) do que um com \mathbf{J} pequeno.

Passo 4

Na equação de torção (a tal “equação 5.5”), tipicamente
T \;=\; G\,\mathbf{J}\,\frac{d\varphi}{dx}
onde G é o módulo de cisalhamento e d\varphi/dx é a variação do ângulo de torção por unidade de comprimento. A presença de \mathbf{J} faz com que, para um mesmo gradiente de torção, você precise de um torque T maior se \mathbf{J} for maior. Inversamente, para um dado torque T, o ângulo de torção é
\frac{d\varphi}{dx}=\frac{T}{G\,\mathbf{J}},
mostrando que um \mathbf{J} mais alto reduz a torção.

Resposta

\mathbf{J} é o momento polar de inércia da seção (definido por \int_{A}r^{2}dA), que fisicamente mede a resistência geométrica à torção. Na fórmula do torque T, ele aparece multiplicando G e, portanto, quanto maior \mathbf{J}, maior o torque necessário para produzir a mesma torção (ou menor a torção para o mesmo torque).

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