Considere a curva C: x(t)=e^-t cos (t), u(t)=e^-t sen(t), 0 <= t <= 2 pi.
Calcule o comprimento do arco de C que une os pontos (1,0) a (e^-2 pi, 0).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos a curva paramétrica definida por x(t)=e^-tcos(t) e u(t)=e^-tsen(t), para 0<= t<=2pi. Queremos o comprimento do arco entre os pontos (1,0) e (e^-2pi,0). Isso é um problema de comprimento de arco de curva paramétrica.

Passo 2

Aplicamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica. Essa fórmula diz que
L = integrala^b raizl(x'(t)r)^2 + l(u'(t)r)^2,dt

Passo 3

No nosso caso, a=0 e b=2pi.

Passo 4

Calculamos as derivadas de x(t) e u(t) usando regra do produto e da cadeia. Para x(t)=e^-tcos(t) temos
x'(t) = -e^-tcos(t) - e^-tsen(t)
e para u(t)=e^-tsen(t)
u'(t) = -e^-tsen(t) + e^-tcos(t).

Passo 5

Substituímos no integrando e simplificamos a soma dos quadrados. Começamos com
(x'(t))^2 + (u'(t))^2 = e^-2tl[(-cos(t) - sen(t))^2 + (-sen(t) + cos(t))^2r]
Expandindo os quadrados e usando cos^2(t)+sen^2(t)=1, os termos mistos se anulam e obtemos
(x'(t))^2+(u'(t))^2 = 2e^-2t.
Logo, o integrando fica raiz2e^-t.

Passo 6

Agora basta integrar raiz2e^-t de 0 a 2pi:
L = integral0^2pi raiz2,e^-t,dt = raiz2,l[-e^-tr]0^2pi

Resposta

raiz2,(1 - e^-2pi)

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