Considere a curva
.
Calcule o comprimento do arco de
que une os pontos
a
.
Calcule o comprimento do arco de
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: temos a curva paramétrica definida por
e
, para
. Queremos o comprimento do arco entre os pontos
e
. Isso é um problema de comprimento de arco de curva paramétrica.
Passo 2
Aplicamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica. Essa fórmula diz que
Passo 3
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e
usando regra do produto e da cadeia. Para
temos
e para
.
e para
Passo 5
Substituímos no integrando e simplificamos a soma dos quadrados. Começamos com
Expandindo os quadrados e usando
, os termos mistos se anulam e obtemos
.
Logo, o integrando fica .
Logo, o integrando fica
Passo 6
Agora basta integrar
de 0 a
: