Relacione o modelo de Bohr com a teoria da quantização de energia de Planck.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como o modelo atômico de Bohr apoia-se na ideia de quantização de energia introduzida por Planck. Vamos precisar entender primeiro o que Planck propôs sobre radiação e energia, e depois ver como Bohr adaptou esses conceitos para explicar o espectro do átomo de hidrogênio.

Passo 2

Na teoria de Planck, a energia trocada entre a radiação eletromagnética e a matéria não ocorre de modo contínuo, mas em “pacotes” discretos chamados quanta. Planck postulou que cada quantum tem energia proporcional à frequência da radiação:
E = h\,\nu
onde h é a constante de Planck e \nu é a frequência do fóton. Essa hipótese resolveu o problema da catástrofe ultravioleta e estabeleceu o conceito de energia quantizada.

Passo 3

Bohr aproveitou a ideia de quantização de Planck para propor, em 1913, um modelo planetário para o átomo de hidrogênio com dois postulados fundamentais:
  1. Os elétrons descrevem órbitas circulares ao redor do núcleo sem emitir radiação, desde que permaneçam em órbitas “estacionárias”.
  2. O momento angular do elétron nessas órbitas é quantizado, valendo apenas valores múltiplos inteiros de \hbar = h/(2\pi):
L = m\,v\,r = n\,\hbar,\quad n=1,2,3,\dots
A quantização de L leva a um conjunto discreto de raios r_n e, consequentemente, a energias permitidas E_n.

Passo 4

Para cada órbita permitida n, Bohr mostra que a energia do elétron é
E_n = -\frac{m\,e^4}{8\,\varepsilon_0^2\,h^2}\,\frac{1}{n^2} = -\frac{13{,}6\text{ eV}}{n^2}\,.
Quando o elétron salta de uma órbita n_i para outra n_f, ele emite ou absorve um fóton cuja energia é a diferença entre esses níveis:
\Delta E = E_{n_f} - E_{n_i} = h\,\nu\,.
Em outras palavras, Bohr aplica diretamente a relação E=h\nu de Planck para calcular as frequências das linhas espectrais do hidrogênio.

Passo 5

Assim, o modelo de Bohr é uma extensão da quantização de Planck ao átomo:
- Planck introduziu o quantum de energia E=h\nu para a radiação.
- Bohr quantizou o momento angular do elétron e usou \Delta E = h\nu para justificar o espectro discreto do hidrogênio.

Resposta

O modelo de Bohr incorpora a ideia de Planck de que a energia troca-se em quanta de valor h\nu, quantizando o momento angular do elétron mvr=n\hbar e obtendo níveis de energia E_n\propto1/n^2. As transições entre esses níveis obedecem a
\Delta E = E_{n_f}-E_{n_i} = h\,\nu,
unindo assim a quantização de energia de Planck com o espectro atômico de Bohr.

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