Relativamente aos produtos internos definidos no exercício anterior, determine
\langle u, v\rangle, onde:
u=(-1,0,1) e v=(-1,-2,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \langle u,v\rangle para os vetores \,u = (-1,0,1)\, e \,v = (-1,-2,0)\,, “relativamente aos produtos internos definidos no exercício anterior”. As informações que temos explicitamente aqui são:
  • u = (-1,0,1).
  • v = (-1,-2,0).
  • A tarefa: determinar \langle u,v\rangle.
Informação faltante e necessária: o enunciado refere-se a “produtos internos definidos no exercício anterior”, mas essa definição concreta do(s) produto(s) interno(s) não foi enviada aqui. Sem saber qual produto interno (por exemplo, o produto escalar padrão, ou um produto dado por uma matriz simétrica A, ou outro) não é possível obter um valor único para \langle u,v\rangle.

Passo 2

O que é um produto interno (explicação didática, sem jargões complicados)?
  • Um produto interno em \mathbb{R}^n é uma regra que associa a cada par de vetores x,y um número real \langle x,y\rangle.
  • Essa regra costuma obedecer três propriedades importantes:
    1. Linearidade em um dos argumentos: \langle ax+bx',y\rangle = a\langle x,y\rangle + b\langle x',y\rangle para escalares a,b.
    2. Simetria: \langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle.
    3. Positividade definida: \langle x,x\rangle > 0 para todo x\neq 0.
  • Em linguagem simples: é uma forma de multiplicar vetores que generaliza o “produto escalar” que você já conhece.

Passo 3

Forma matricial geral de um produto interno em \mathbb{R}^3 (por que isso importa)
  • Muitas vezes um produto interno é dado por
\langle x,y\rangle = x^{T} A y,
onde A é uma matriz 3\times 3 simétrica e definida positiva. Aqui:
  • x e y são vetores coluna em \mathbb{R}^3.
  • x^{T} é a transposta de x (uma linha).
  • A determina completamente o produto interno — mudar A muda \langle x,y\rangle.
  • Portanto, para calcular \langle u,v\rangle precisamos conhecer a matriz A que define o produto interno (ou outra descrição equivalente).

Passo 4

Cálculo se o produto interno for o produto escalar euclidiano (caso mais comum)
  • O produto escalar usual em \mathbb{R}^3 é o caso A=I (matriz identidade), e então
\langle x,y\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3.
  • Aplicando aos vetores dados \,u = (-1,0,1)\, e \,v = (-1,-2,0)\,:
    • u_1 = -1, u_2 = 0, u_3 = 1.
    • v_1 = -1, v_2 = -2, v_3 = 0.
  • Multiplicando componente a componente e somando:
\langle u,v\rangle = (-1)\cdot(-1) + 0\cdot(-2) + 1\cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1.
  • Ou seja, se o produto interno for o produto escalar usual, o resultado é \,1.

Passo 5

Exemplo de outro produto interno para ver que o valor muda (ilustração)
  • Suponha um produto interno definido por A=\operatorname{diag}(2,3,4) (matriz diagonal com entradas 2,3,4). Então
\langle x,y\rangle = x^{T} A y = 2x_1 y_1 + 3x_2 y_2 + 4x_3 y_3.
  • Para u,v desse problema:
\langle u,v\rangle = 2(-1)(-1) + 3(0)(-2) + 4(1)(0) = 2 + 0 + 0 = 2.
  • Isso mostra que, sem a definição de A, o valor pode ser diferente (aqui deu 2).

Passo 6

Conclusão prática e o que fazer na prova
  • Como o enunciado remete a produtos internos definidos antes, você precisa pegar a definição daquele exercício anterior (normalmente será ou o produto escalar usual ou um produto dado por uma matriz A). Com essa definição, aplique a fórmula apropriada (se A é dada, calcule u^{T}Ay; se for o produto escalar usual, some produtos de componentes).
  • Se na sua prova o produto for o usual, a resposta é \,1. Se for outro, siga a regra matricial explicada no Passo 3 usando a matriz A que o enunciado fornecer.

Resposta

Não é possível determinar um valor único para \langle u,v\rangle sem a definição do produto interno usada no exercício anterior.
Se o produto interno for o produto escalar euclidiano (produto escalar usual), então \langle u,v\rangle = 1.

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