Relativamente aos produtos internos definidos no exercício anterior, determine
, onde:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para os vetores
e
, “relativamente aos produtos internos definidos no exercício anterior”. As informações que temos explicitamente aqui são:
-
. -
. - A tarefa: determinar
.
Informação faltante e necessária: o enunciado refere-se a “produtos internos definidos no exercício anterior”, mas essa definição concreta do(s) produto(s) interno(s) não foi enviada aqui. Sem saber qual produto interno (por exemplo, o produto escalar padrão, ou um produto dado por uma matriz simétrica
, ou outro) não é possível obter um valor único para
.
Passo 2
O que é um produto interno (explicação didática, sem jargões complicados)?
- Um produto interno em
é uma regra que associa a cada par de vetores um número real . - Essa regra costuma obedecer três propriedades importantes:
- Linearidade em um dos argumentos:
para escalares . - Simetria:
. - Positividade definida:
para todo .
- Linearidade em um dos argumentos:
- Em linguagem simples: é uma forma de multiplicar vetores que generaliza o “produto escalar” que você já conhece.
Passo 3
Forma matricial geral de um produto interno em
(por que isso importa)
- Muitas vezes um produto interno é dado por
onde
é uma matriz
simétrica e definida positiva. Aqui:
-
e são vetores coluna em . -
é a transposta de (uma linha). -
determina completamente o produto interno — mudar muda . - Portanto, para calcular
precisamos conhecer a matriz que define o produto interno (ou outra descrição equivalente).
Passo 4
Cálculo se o produto interno for o produto escalar euclidiano (caso mais comum)
- O produto escalar usual em
é o caso (matriz identidade), e então
- Aplicando aos vetores dados
e : -
, , . -
, , .
-
- Multiplicando componente a componente e somando:
- Ou seja, se o produto interno for o produto escalar usual, o resultado é
.
Passo 5
Exemplo de outro produto interno para ver que o valor muda (ilustração)
- Suponha um produto interno definido por
(matriz diagonal com entradas ). Então
- Para
desse problema:
- Isso mostra que, sem a definição de
, o valor pode ser diferente (aqui deu ).
Passo 6
Conclusão prática e o que fazer na prova
- Como o enunciado remete a produtos internos definidos antes, você precisa pegar a definição daquele exercício anterior (normalmente será ou o produto escalar usual ou um produto dado por uma matriz
). Com essa definição, aplique a fórmula apropriada (se é dada, calcule ; se for o produto escalar usual, some produtos de componentes). - Se na sua prova o produto for o usual, a resposta é
. Se for outro, siga a regra matricial explicada no Passo 3 usando a matriz que o enunciado fornecer.
Resposta
Não é possível determinar um valor único para
sem a definição do produto interno usada no exercício anterior.
Se o produto interno for o produto escalar euclidiano (produto escalar usual), então .
Se o produto interno for o produto escalar euclidiano (produto escalar usual), então