Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 3\end{array}\right),

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  1. Determinar o polinômio característico de A.
  2. Encontrar os autovalores (valores próprios) de A.
  3. Para cada autovalor, encontrar os autovetores correspondentes (vetores próprios não nulos).
Informações dadas:
\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Não há outras informações ou restrições; vamos proceder com os métodos padrão de autovalores/autovetores.]

Passo 2

Definição e fórmula usada para o polinômio característico: o polinômio característico p(\lambda) de uma matriz A é dado por
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade e \lambda é a variável (o número que tentamos achar). Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicando isso à nossa matriz, primeiro formamos A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 4 \\[4pt] 2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular o determinante de A-\lambda I passo a passo:
Usando a fórmula do determinante para 2\times2,
p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(3-\lambda)-4\cdot 2.
Agora expandimos (1-\lambda)(3-\lambda):
(1-\lambda)(3-\lambda)=1\cdot 3 -1\cdot\lambda -\lambda\cdot 3 +\lambda^2 =3-4\lambda+\lambda^2.
Subtraindo 4\cdot 2=8 temos
p(\lambda)=\lambda^2-4\lambda+3-8=\lambda^2-4\lambda-5.
Fatorando o trinômio (ou usando fórmula de Bhaskara), encontramos
p(\lambda)=\lambda^2-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1).
Portanto os autovalores são as raízes de p(\lambda)=0, ou seja \lambda=5 e \lambda=-1.

Passo 4

Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=5\). Método: para um autovalor \(\lambda\) procuramos vetores não nulos \(v\) tais que \[(A-\lambda I)v=0.
Para \lambda=5 temos
A-5I=\begin{pmatrix}1-5 & 4 \\[4pt] 2 & 3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 4 \\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}.
Agora resolvemos o sistema homogêneo (A-5I)v=0. Escrevendo v=(x,y)^\top, o sistema é
\begin{cases} -4x+4y=0,\\[4pt] 2x-2y=0. \end{cases}
Ambas equações são equivalentes (a segunda é -\tfrac12\] da primeira). Da primeira vem \(-4x+4y=0\Rightarrow y=x. Então os autovetores associados a \lambda=5 são todos os múltiplos escalares de
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Podemos verificar rapidamente: A v_1=\begin{pmatrix}1+4\\[4pt]2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]5\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, OK.]

Passo 5

Agora achamos os autovetores para \lambda=-1\). Formamos \(A-(-1)I=A+I\): \[A+I=\begin{pmatrix}1+1 & 4 \\[4pt] 2 & 3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Resolvemos (A+I)v=0. Com v=(x,y)^\top temos
\begin{cases} 2x+4y=0,\\[4pt] 2x+4y=0. \end{cases}
As duas equações são iguais, então basta uma: 2x+4y=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\]. Escolhendo \(y=1 (qualquer valor não nulo), obtemos um autovetor
v_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: A v_2=\begin{pmatrix}1\cdot(-2)+4\cdot 1\\[4pt]2\cdot(-2)+3\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2+4\\[4pt] -4+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}, certo.]

Passo 6

Resumo e observações finais (úteis para prova):
  • O procedimento geral é sempre: (i) calcular p(\lambda)=\det(A-\lambda I); (ii) resolver p(\lambda)=0 para obter os autovalores; (iii) para cada autovalor \lambda, resolver (A-\lambda I)v=0 para achar os autovetores (o espaço nulo).
  • No caso de matrizes 2\times2 é prático usar a fórmula do determinante ad-bc e fatorar o polinômio quadrático; se a fatoração não for imediata, use a fórmula de Bhaskara.
  • Para sistemas homogêneos rever: transformar em equações lineares, eliminar linhas redundantes e expressar variáveis livres em função de parâmetros para descrever os autovetores.

Resposta

Polinômio característico: p(\lambda)=\lambda^2-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1)
Autovalores: \lambda_1=5, \lambda_2=-1
Autovetores: para \lambda_1=5 temos v_1=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} com t\neq0; para \lambda_2=-1 temos v_2=s\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix} com s\neq0]

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