Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes: \left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 2 & 3\end{array}\right),
Para cada autovalor, encontrar os autovetores correspondentes (vetores próprios não nulos).
Informações dadas:
\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Não há outras informações ou restrições; vamos proceder com os métodos padrão de autovalores/autovetores.]
Passo 2
Definição e fórmula usada para o polinômio característico: o polinômio característico p(\lambda) de uma matriz A é dado por
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade e \lambda é a variável (o número que tentamos achar). Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aplicando isso à nossa matriz, primeiro formamos A-\lambda I:
Portanto os autovalores são as raízes de p(\lambda)=0, ou seja \lambda=5 e \lambda=-1.
Passo 4
Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=5\).
Método: para um autovalor \(\lambda\) procuramos vetores não nulos \(v\) tais que
\[(A-\lambda I)v=0.
Ambas equações são equivalentes (a segunda é -\tfrac12\] da primeira). Da primeira vem \(-4x+4y=0\Rightarrow y=x. Então os autovetores associados a \lambda=5 são todos os múltiplos escalares de
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Podemos verificar rapidamente: A v_1=\begin{pmatrix}1+4\\[4pt]2+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]5\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, OK.]
As duas equações são iguais, então basta uma: 2x+4y=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\]. Escolhendo \(y=1 (qualquer valor não nulo), obtemos um autovetor
v_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: A v_2=\begin{pmatrix}1\cdot(-2)+4\cdot 1\\[4pt]2\cdot(-2)+3\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2+4\\[4pt] -4+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}, certo.]
Passo 6
Resumo e observações finais (úteis para prova):
O procedimento geral é sempre: (i) calcular p(\lambda)=\det(A-\lambda I); (ii) resolver p(\lambda)=0 para obter os autovalores; (iii) para cada autovalor \lambda, resolver (A-\lambda I)v=0 para achar os autovetores (o espaço nulo).
No caso de matrizes 2\times2 é prático usar a fórmula do determinante ad-bc e fatorar o polinômio quadrático; se a fatoração não for imediata, use a fórmula de Bhaskara.
Para sistemas homogêneos rever: transformar em equações lineares, eliminar linhas redundantes e expressar variáveis livres em função de parâmetros para descrever os autovetores.
Autovetores: para \lambda_1=5 temos v_1=t\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} com t\neq0; para \lambda_2=-1 temos v_2=s\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix} com s\neq0]