Relativamente aos produtos internos definidos no exercício anterior, determine
\langle u, v\rangle, onde:
u=(1,1,1) e v=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede para determinar \langle u,v\rangle, onde \;u=(1,1,1)\; e \;v=(1,2,3)\;. As informações explícitas fornecidas são apenas as coordenadas dos vetores \;u\; e \;v\;.
Falta uma informação essencial: o enunciado refere-se aos “produtos internos definidos no exercício anterior”, mas esse exercício anterior não foi enviado aqui, portanto não sabemos qual definição específica de produto interno está a ser usada. Sem essa definição não podemos garantir um único valor numérico para \langle u,v\rangle.

Passo 2

O que é um produto interno (rápido e didático)? Vou explicar como se aprende na prova, passo a passo. Um produto interno em um espaço real é uma aplicação que associa a cada par de vetores (x,y) um número real \langle x,y\rangle e satisfaz três propriedades fundamentais:
\begin{aligned} &\text{(1) Linearidade na primeira componente:}\quad \langle ax+bx',y\rangle = a\langle x,y\rangle + b\langle x',y\rangle,\\[4pt] &\text{(2) Simetria:}\quad \langle x,y\rangle = \langle y,x\rangle,\\[4pt] &\text{(3) Definição positiva:}\quad \langle x,x\rangle \ge 0 \text{ e } \langle x,x\rangle=0 \iff x=0. \end{aligned}çã
Essas propriedades te permitem manipular o produto interno em provas: linearizar, trocar ordem quando for preciso, e usar que \langle x,x\rangle mede “tamanho” (norma).]

Passo 3

O caso mais comum — e o que aparece na maioria das provas introductorias — é o produto interno canónico (produto escalar usual) em \mathbb{R}^3. A definição é:
\langle x,y\rangle = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3,
onde x=(x_1,x_2,x_3) e y=(y_1,y_2,y_3). Aqui cada x_i e y_i é a i-ésima componente dos vetores. Essa fórmula vem diretamente da linearidade e da forma mais simples de medir “coincidência” entre componentes.

Passo 4

Vamos aplicar o produto escalar usual aos vetores dados, passo a passo (faça igual na prova): substitua as componentes na fórmula:
\langle u,v\rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Agora coloque os valores \;u_1=1,\;u_2=1,\;u_3=1\; e \;v_1=1,\;v_2=2,\;v_3=3\;:
\langle u,v\rangle = 1\cdot 1 + 1\cdot 2 + 1\cdot 3.
Calcule somando os termos um a um:
1\cdot 1 = 1,\quad 1\cdot 2 = 2,\quad 1\cdot 3 = 3,
portanto
\langle u,v\rangle = 1 + 2 + 3 = 6.
Dica de prova: escreva sempre a substituição e calcule termo a termo — evita erros por pressa.

Passo 5

Mas atenção — existem outros produtos internos possíveis. Uma família muito comum é o produto interno associado a uma matriz simétrica definida positiva A:
\langle x,y\rangle_A = x^{T} A y.
Aqui A é uma matriz 3\times3 que você deve conhecer do enunciado anterior; x^{T} é o vetor linha transposto de x. Se A não for dada, o valor de \langle u,v\rangle_A depende de A. Exemplo concreto: se A=\operatorname{diag}(1,2,3) (matriz diagonal com entradas 1,2,3), então
\langle u,v\rangle_A = 1\cdot(1)(1) + 2\cdot(1)(2) + 3\cdot(1)(3) = 1 + 4 + 9 = 14.
Viu? Outro produto interno, outro número. Por isso a definição que vinha no “exercício anterior” é crucial.

Passo 6

Conclusão prática para a prova: sempre verifique qual produto interno está definido no enunciado. Se o enunciado disser simplesmente “o produto interno usual” ou não especificar nada em contextos básicos, use o produto escalar canónico (resultado \;6\;). Se o enunciado mencionar uma matriz A ou outra definição, aplique a fórmula correspondente \;u^T A v\; e calcule.

Resposta

Não é possível determinar unicamente \langle u,v\rangle porque a definição do produto interno (referida no exercício anterior) não foi fornecida.
Se o produto interno for o produto escalar usual, então \langle u,v\rangle=6.

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