Relativamente aos produtos internos definidos no exercício anterior, determine
, onde:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
, onde
e
. As informações explícitas fornecidas são apenas as coordenadas dos vetores
e
.
Falta uma informação essencial: o enunciado refere-se aos “produtos internos definidos no exercício anterior”, mas esse exercício anterior não foi enviado aqui, portanto não sabemos qual definição específica de produto interno está a ser usada. Sem essa definição não podemos garantir um único valor numérico para .
Falta uma informação essencial: o enunciado refere-se aos “produtos internos definidos no exercício anterior”, mas esse exercício anterior não foi enviado aqui, portanto não sabemos qual definição específica de produto interno está a ser usada. Sem essa definição não podemos garantir um único valor numérico para
Passo 2
O que é um produto interno (rápido e didático)? Vou explicar como se aprende na prova, passo a passo. Um produto interno em um espaço real é uma aplicação que associa a cada par de vetores
um número real
e satisfaz três propriedades fundamentais:
Essas propriedades te permitem manipular o produto interno em provas: linearizar, trocar ordem quando for preciso, e usar que
mede “tamanho” (norma).]
Passo 3
O caso mais comum — e o que aparece na maioria das provas introductorias — é o produto interno canónico (produto escalar usual) em
. A definição é:
onde
e
. Aqui cada
e
é a
-ésima componente dos vetores. Essa fórmula vem diretamente da linearidade e da forma mais simples de medir “coincidência” entre componentes.
Passo 4
Vamos aplicar o produto escalar usual aos vetores dados, passo a passo (faça igual na prova): substitua as componentes na fórmula:
Agora coloque os valores
e
:
Calcule somando os termos um a um:
portanto
Dica de prova: escreva sempre a substituição e calcule termo a termo — evita erros por pressa.
Passo 5
Mas atenção — existem outros produtos internos possíveis. Uma família muito comum é o produto interno associado a uma matriz simétrica definida positiva
:
Aqui
é uma matriz
que você deve conhecer do enunciado anterior;
é o vetor linha transposto de
. Se
não for dada, o valor de
depende de
. Exemplo concreto: se
(matriz diagonal com entradas
), então
Viu? Outro produto interno, outro número. Por isso a definição que vinha no “exercício anterior” é crucial.
Passo 6
Conclusão prática para a prova: sempre verifique qual produto interno está definido no enunciado. Se o enunciado disser simplesmente “o produto interno usual” ou não especificar nada em contextos básicos, use o produto escalar canónico (resultado
). Se o enunciado mencionar uma matriz
ou outra definição, aplique a fórmula correspondente
e calcule.
Resposta
Não é possível determinar unicamente
porque a definição do produto interno (referida no exercício anterior) não foi fornecida.
Se o produto interno for o produto escalar usual, então .
Se o produto interno for o produto escalar usual, então