Q5 Na relatividade de Einstein, a energia cinética e o momento são dados por,
K=m_{0} c^{2}\left(\gamma^{-1}-1\right)
e
\vec{p}=\gamma^{-1} m_{0} \vec{v}
onde \gamma=\left[1-(v / c)^{2}\right]^{1 / 2} é o fator de Lorentz, m_{0} é massa de repouso e c é velocidade da luz.
a) Mostre que a energia cinética relativística se reduz ao caso clássico ( K=(1 / 2) m_{0} v^{2} ) quando v \ll c.
b) Mostre que o momento se reduz m_{0} \vec{v} quando v \ll c.
c) Mostre que é possível ter a relação,
\frac{p^{2}}{2 m_{0}}=K+\frac{K^{2}}{2 m_{0} c^{2}}
entre energia cinética e momento relativísticos.

Passo 1

O enunciado dá as fórmulas relativísticas
K = m_{0}c^{2}\bigl(\gamma - 1\bigr),
\vec p = \gamma\,m_{0}\,\vec v,
com \gamma = \bigl[1-(v/c)^{2}\bigr]^{-1/2}. Pede-se:
a) mostrar que para v\ll c aparece o caso clássico K=\tfrac12m_{0}v^{2};
b) mostrar que \vec p\approx m_{0}\vec v quando v\ll c;
c) derivar a relação
\frac{p^{2}}{2m_{0}} \;=\; K \;+\;\frac{K^{2}}{2m_{0}c^{2}}.
Vamos usar expansão em série para \gamma quando v/c\ll1 e, para (c), a relação energia–momento da relatividade.

Passo 2

Para v\ll c usamos a expansão binomial
\gamma = \bigl(1 - x\bigr)^{-1/2}\quad\text{com}\;x=\frac{v^{2}}{c^{2}}\ll1 \;\Longrightarrow\; \gamma \approx 1 + \tfrac12\,x = 1 + \frac{v^{2}}{2c^{2}}.
Logo
\gamma - 1 \approx \frac{v^{2}}{2c^{2}},
e substituindo em K=m_{0}c^{2}(\gamma-1) vem
K \approx m_{0}c^{2}\,\frac{v^{2}}{2c^{2}} = \frac12\,m_{0}v^{2},
que é a energia cinética clássica.

Passo 3

Para o momento relativístico \vec p = \gamma\,m_{0}\,\vec v, com \gamma\approx1 quando v\ll c, obtemos
\vec p \approx 1\cdot m_{0}\,\vec v = m_{0}\,\vec v,
isto é, o momento clássico.

Passo 4

Definimos a energia total
E = K + m_{0}c^{2}
e usamos a relação relativística
E^{2} = p^{2}c^{2} + m_{0}^{2}c^{4}.
Substituindo E=K+m_{0}c^{2}:
\bigl(K + m_{0}c^{2}\bigr)^{2} = p^{2}c^{2} + m_{0}^{2}c^{4}.
Expandindo e cancelando m_{0}^{2}c^{4}:
K^{2} + 2K\,m_{0}c^{2} = p^{2}c^{2}.
Dividindo ambos os lados por 2m_{0}c^{2}:
\frac{p^{2}}{2m_{0}} = K + \frac{K^{2}}{2m_{0}c^{2}},
que é exatamente a relação pedida.

Resposta

a) Para v\ll c, K\approx\tfrac12m_{0}v^{2}.
b) Para v\ll c, \vec p\approx m_{0}\vec v.
c)
\frac{p^{2}}{2m_{0}} = K + \frac{K^{2}}{2m_{0}c^{2}}.

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