Q5 Na relatividade de Einstein, a energia cinética e o momento são dados por,
e
onde
é o fator de Lorentz,
é massa de repouso e
é velocidade da luz.
a) Mostre que a energia cinética relativística se reduz ao caso clássico (
) quando
.
b) Mostre que o momento se reduz
quando
.
c) Mostre que é possível ter a relação,
entre energia cinética e momento relativísticos.
a) Mostre que a energia cinética relativística se reduz ao caso clássico (
b) Mostre que o momento se reduz
c) Mostre que é possível ter a relação,
Passo 1
O enunciado dá as fórmulas relativísticas
com
. Pede-se:
a) mostrar que para aparece o caso clássico
;
b) mostrar que quando
;
c) derivar a relação
a) mostrar que para
b) mostrar que
c) derivar a relação
Vamos usar expansão em série para
quando
e, para (c), a relação energia–momento da relatividade.
Passo 2
Para
usamos a expansão binomial
Logo
e substituindo em
vem
que é a energia cinética clássica.
Passo 3
Para o momento relativístico
, com
quando
, obtemos
isto é, o momento clássico.
Passo 4
Definimos a energia total
e usamos a relação relativística
Substituindo
:
Expandindo e cancelando
:
Dividindo ambos os lados por
:
que é exatamente a relação pedida.
Resposta
a) Para
,
.
b) Para ,
.
c)
b) Para
c)