Q2 (20%)Considere três partículas de massas m_{1}, m_{2} e m_{3} sendo m_{1}=m_{2} e m_{1}=(1 / 2) m_{3}. Calcule o CM nas seguintes situações:
a) quando as particulas estão alinhadas conı m_{3} no ponto médio do sistema.
b) formando um triângulo isósceles.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de três partículas com massas m_{1},m_{2},m_{3} tais que
m_{1}=m_{2}\quad\text{e}\quad m_{3}=2\,m_{1},
em duas disposições espaciais distintas. Vamos usar a definição
\vec R_{\rm CM}=\frac{1}{M}\sum_{i}m_{i}\,\vec r_{i},
onde M=m_{1}+m_{2}+m_{3}.

Passo 2

Configuração (a): partículas alinhadas num eixo x com m_{3} no ponto médio entre m_{1} e m_{2}. Escolhemos
\vec r_{1}=(-L,0),\quad \vec r_{2}=(+L,0),\quad \vec r_{3}=(0,0),
sendo m_{1}=m_{2}=m e m_{3}=2m. O total de massa é
M=m+m+2m=4m.
Então a componente x do CM é
x_{\rm CM} =\frac{1}{4m}\bigl[m\cdot(-L)+m\cdot(+L)+2m\cdot0\bigr] =\frac{-mL+mL}{4m}=0.
Como toda a massa está sobre o eixo x, temos \vec R_{\rm CM}=(0,0), isto é, coincide com a posição de m_{3}.

Passo 3

Resultado para (a):
\boxed{\vec R_{\rm CM}=(0,0)\,,}
ou seja, o centro de massa está no ponto médio onde está m_{3}.

Passo 4

Configuração (b): posições nos vértices de um triângulo isósceles de base entre m_{1} e m_{2}. Tomamos
\vec r_{1}=(-a,0),\quad \vec r_{2}=(+a,0),\quad \vec r_{3}=(0,h),
com m_{1}=m_{2}=m, m_{3}=2m e M=4m.
O cálculo das componentes do CM dá
x_{\rm CM} =\frac{1}{4m}\bigl[m(-a)+m(+a)+2m\cdot0\bigr]=0,
y_{\rm CM} =\frac{1}{4m}\bigl[m\cdot0+m\cdot0+2m\cdot h\bigr] =\frac{2m\,h}{4m}=\frac{h}{2}.

Passo 5

Resultado para (b):
\boxed{\vec R_{\rm CM}=(0,\tfrac{h}{2})\,,}
ou seja, o CM está sobre o eixo de simetria, a meio caminho entre o vértice m_{3} e o meio da base.

Resposta

(a) \vec R_{\rm CM}=(0,0), coincide com m_{3}.
(b) \vec R_{\rm CM}=(0,h/2).

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