4p) Mostre que o valor médio do vetor de propagação de onda eletromagnética (vetor de Poynting) é dado por \langle\vec{S}\rangle=\frac{1}{2} \frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0} c} \hat{\jmath} e perpendicular aos vetores \vec{E} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado pede o valor médio em tempo do vetor de Poynting
\vec{S}=\frac{1}{\mu_{0}}\vec{E}\times\vec{B}
para uma onda eletromagnética plana em vácuo, mostrando que
\bigl\langle\vec{S}\bigr\rangle =\frac{1}{2}\,\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}c}\,\hat{\jmath}
e que \vec{S} é perpendicular a \vec{E} e \vec{B}.
Para isso vamos usar:
  1. expressão de um campo monocromático em vácuo
  2. relação de onda em vácuo E_{0}=c\,B_{0}
  3. média temporal de \cos^{2}

Passo 2

Escolhemos orientações de base tais que a onda propague ao longo de \hat{\jmath}, o campo elétrico vibre ao longo de \hat{k} e o magnético ao longo de \hat{\imath}. Assim
\vec{E}(y,t) =E_{0}\cos\bigl(ky-\omega t\bigr)\,\hat{k}, \quad \vec{B}(y,t) =B_{0}\cos\bigl(ky-\omega t\bigr)\,\hat{\imath}.
O vetor de Poynting instantâneo é
\vec{S}(y,t) =\frac{1}{\mu_{0}}\;\vec{E}\times\vec{B} =\frac{1}{\mu_{0}} \,E_{0}B_{0}\,\cos^{2}\!(ky-\omega t) \;\bigl(\hat{k}\times\hat{\imath}\bigr).
Como \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}, temos
\vec{S}(y,t) =\frac{E_{0}B_{0}}{\mu_{0}}\, \cos^{2}\!(ky-\omega t)\,\hat{\jmath}.
Isso mostra que \vec{S} é perpendicular a \vec{E} (along \hat{k}) e a \vec{B} (along \hat{\imath}), apontando ao longo de \hat{\jmath}.

Passo 3

Agora calculamos a média em tempo num período T. Como
\bigl\langle\cos^{2}(ky-\omega t)\bigr\rangle =\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^{2}(ky-\omega t)\,dt =\frac{1}{2},
segue
\bigl\langle\vec{S}\bigr\rangle =\frac{E_{0}B_{0}}{\mu_{0}} \;\bigl\langle\cos^{2}(ky-\omega t)\bigr\rangle =\frac{E_{0}B_{0}}{2\,\mu_{0}}\,\hat{\jmath}.
Finalmente, usando B_{0}=E_{0}/c, obtemos
\bigl\langle\vec{S}\bigr\rangle =\frac{E_{0}}{2\,\mu_{0}}\,\frac{E_{0}}{c}\,\hat{\jmath} =\frac{1}{2}\,\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}\,c}\,\hat{\jmath}.

Resposta

\bigl\langle\vec{S}\bigr\rangle =\frac{1}{2}\,\frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}\,c}\,\hat{\jmath},
e \vec{S} é perpendicular a \vec{E} e \vec{B}.

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