1. Na Relatividade Restrita a energia de uma partícula com massa de repouso m é dada por
E=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}
onde v é o módulo da velocidade da partícula e c a velocidade da luz. Mostre que, para v \ll c, a energia da partícula pode ser aproximada por
E \simeq m c^{2}+\frac{1}{2} m v^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a energia relativística
E = \frac{m c^{2}}{\sqrt{1 - \bigl(\frac{v}{c}\bigr)^{2}}}
e pede que, no regime v \ll c, mostremos que
E \simeq m c^{2} + \tfrac12\,m v^{2}.
O conteúdo principal aqui é usar a expansão binomial para aproximar a raiz.

Passo 2

Definimos o parâmetro adimensional
\beta = \frac{v}{c},
de forma que
E = m c^{2}\,\bigl(1 - \beta^{2}\bigr)^{-\tfrac12}.

Passo 3

Recordando a série binomial, para \lvert x\rvert \ll 1 e qualquer expoente \alpha, vale
(1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha\,x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}\,x^{2} + \cdots.

Passo 4

Aqui tomamos x = -\beta^{2} e \alpha = -\tfrac12. Assim
\bigl(1 - \beta^{2}\bigr)^{-\tfrac12} = 1 + \Bigl(-\tfrac12\Bigr)(-\beta^{2}) + \mathcal{O}(\beta^{4}) = 1 + \tfrac12\,\beta^{2} + \mathcal{O}(\beta^{4}).

Passo 5

Voltando a E, obtemos
E = m c^{2}\,\bigl(1 + \tfrac12\,\beta^{2} + \cdots\bigr) = m c^{2} + \tfrac12\,m c^{2}\,\frac{v^{2}}{c^{2}} + \cdots = m c^{2} + \tfrac12\,m v^{2} + \cdots,
onde desprezamos termos de ordem superior em \beta.

Resposta

E \simeq m c^{2} + \tfrac12\,m v^{2}.

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