Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} n 4^{n} x^{n}
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} n 4^{n} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência
e o intervalo de convergência de
O método mais direto para encontrar
é usar o teste da razão de Cauchy para séries de potências.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da razão. Seja
então analisamos
O teste da razão diz que a série converge se
, ou seja
Logo, o raio de convergência é
Passo 3
Agora testamos o ponto
. Nesse caso a série vira
Como
não tende a zero, a série diverge.
Passo 4
No ponto
temos
pois
. Essa série é claramente divergente (soma dos
não converge).
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é