Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} n 4^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência de
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,n\,4^{n}\,x^{n}.
O método mais direto para encontrar R é usar o teste da razão de Cauchy para séries de potências.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da razão. Seja
a_n = (-1)^{n}\,n\,4^{n},
então analisamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,x^{\,n+1}}{a_n\,x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\,4^{\,n+1}\,|x|^{\,n+1}}{n\,4^n\,|x|^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\;4\,|x| =4\,|x|.
O teste da razão diz que a série converge se L<1, ou seja
4\,|x|<1\quad\Longrightarrow\quad |x|<\tfrac14.
Logo, o raio de convergência é
R = \tfrac14.

Passo 3

Agora testamos o ponto x = \tfrac14. Nesse caso a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,n\,4^{n}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,n.
Como \lim_{n\to\infty}(-1)^{n}n não tende a zero, a série diverge.

Passo 4

No ponto x = -\tfrac14 temos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,n\,4^{n}\Bigl(-\tfrac14\Bigr)^{n} =\sum_{n=1}^{\infty}n,
pois (-1)^{n}\cdot(-1)^{n}=1. Essa série é claramente divergente (soma dos n não converge).

Resposta

O raio de convergência é R=\tfrac14 e o intervalo de convergência é
\bigl(-\tfrac14,\tfrac14\bigr).

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