Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,3^{n}}.
Este é um problema de séries de potências: usaremos o teste da razão para encontrar o raio R e, depois, testes de convergência nos pontos x=\pm R.

Passo 2

Defina
a_{n}=\frac{x^{n}}{n\,3^{n}}.
Pelo teste da razão, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)3^{n+1}}\cdot\frac{n\,3^{n}}{x^{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x}{3}\cdot\frac{n}{n+1}\right| =\left|\frac{x}{3}\right|.
A série converge se L<1, isto é, se \bigl|x/3\bigr|<1.

Passo 3

Da condição \bigl|x/3\bigr|<1 segue
|x|<3,
logo o raio de convergência é
R=3.

Passo 4

Agora testamos os extremos.
  • Para x=3: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n\,3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},que é a série harmônica e diverge.

Passo 5

  • Para x=-3: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{n\,3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n},que é a série harmônica alternada. Como os termos \tfrac1n decrescem para zero, pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Resposta

O raio de convergência é R=3.
O intervalo de convergência é [-3,3).

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