RELATIVIDADE DO TEMPO
Usando os postulados da relatividade restrita prove da maneira mais simples possível e usando a matemática do ensino básico, que o tempo é relativo.

Passo 1

Então bora lá: o enunciado quer que a gente prove, usando só os postulados da relatividade restrita e matemática básica, que o tempo não é absoluto, ou seja, que ele depende do quão rápido você tá se mexendo. A matéria é Relatividade Restrita (tempo próprio, dilatação do tempo) e o que a gente precisa é só:
  • Postulado 1: as leis da física são iguais em todo referencial inercial.
  • Postulado 2: a luz sempre se propaga no vácuo com velocidade , independente de quem a mede.
  • Matemática básica: Teorema de Pitágoras e álgebra simples.

Passo 2

A ideia clássica é usar um “relógio de luz”, que é só um pulinho de um fóton entre dois espelhos separados por uma distância fixa t0 = 2dc, . No referencial onde o relógio está parado, o tempo entre um “tic” e um “tac” é bem fácil de achar:
  1. O fóton vai até o espelho de cima em tempo .
  2. Volta em mais .
  3. Então o período total (tempo de um “tic-tac”) é
que a gente chama de tempo próprio.

Passo 3

Agora imagina esse mesmo relógio andando a uma velocidade distância = c,t2 horizontalmente, visto por um observador que está parado numa calçada. Desse ponto de vista, o fóton não sobe reto: ele descreve trajetórias em forma de “V” na horizontal. Ou seja, pra ir do espelho de baixo até o de cima, percorre uma hipotenusa de um triângulo retângulo cujo cateto vertical é e cateto horizontal é , onde é o tempo desse meio “tic” medido pelo observador na calçada.
Pelo postulado da luz, o módulo dessa hipotenusa dividido pelo tempo deve ser . Então
â

Passo 4

Aplicando Pitágoras ao triângulo:
l(c,tfract2r)^2 ;=; d^2 + l(v,tfract2r)^2
Desenvolvendo:
c^2,t^24 ;=; d^2 + v^2,t^24
Isolando d^2 = t^24,l(c^2 - v^2r) :
l(tfracc,t02r)^2 = t^24,(c^2 - v^2)
Mas lembre: c^2,t0^24 = t^24,(c^2 - v^2) . Então . Substituindo:
Ou seja

Passo 5

Multiplica os dois lados por 4 e divide por t^2 = c^2,t0^2c^2 - v^2 = t0^2 ,c^2c^2(1 - v^2/c^2) = t0^21 - v^2c^2 :
t = t0raiz1 - v^2c^2
Tira raiz:
Pronto, é a famosa fórmula da dilatação do tempo.

Resposta

O tempo medido por quem vê o relógio em movimento é
boxedt = t0raiz1 - v^2c^2,
mostrando que sempre que . Isso prova, de um jeito bem simples, que o tempo é relativo!

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