Um orçamentista coletou o preço (em R$) do saco de cimento em 7 lojas diferentes da região para uma licitação:
Amostra: 28.50, 32.00, 30.00, 27.80, 31.20, 29.90, 33.50
Calcule:
a) O preço médio do material.
b) A amplitude total dos preços.
c) A variância e o desvio padrão populacional.
Amostra: 28.50, 32.00, 30.00, 27.80, 31.20, 29.90, 33.50
b) A amplitude total dos preços.
c) A variância e o desvio padrão populacional.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado). A amostra de preços (em R$) é:
O enunciado pede:
a) o preço médio do material;
b) a amplitude total dos preços;
c) a variância populacional e o desvio padrão populacional.
a) o preço médio do material;
b) a amplitude total dos preços;
c) a variância populacional e o desvio padrão populacional.
Passo 2
Vamos calcular o preço médio. Primeiro a fórmula do preço médio (média aritmética) para uma amostra com
observações
é
onde
é a média e
é o número de observações. Aqui
.
Calculemos a soma das observações (faço cada passo para você poder repetir na prova sem calculadora):
Somando em ordem:
Portanto
. Agora a média:
Em decimal:
Na prática, para preços costuma-se arredondar para duas casas decimais:
.
Passo 3
Agora a amplitude total dos preços (também chamada de alcance) é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Identificando:
Portanto a amplitude é
Passo 4
Vamos à variância populacional. Primeiro a definição: para uma população com
valores
e média
, a variância populacional é
No caso em que trabalhamos diretamente com a amostra assumindo que ela representa a população inteira, usamos a média calculada
e a fórmula acima com divisão por
. Uma forma prática (e numérica estável) de calcular
é usar:
Aqui vou calcular
explicitamente (cada quadrado mostrado) para você poder copiar passo a passo na prova.
Calcule os quadrados:
Somando:
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula com soma dos quadrados:
Já calculamos a média exata
. Calculamos também
; escrevendo em fração:
Então a variância populacional é
Arredondando para dois ou três algarismos decimais (útil em provas/práticas), podemos registrar
ou, com duas casas decimais,
.
Passo 6
Para obter o desvio padrão populacional
tiramos a raiz quadrada da variância:
Arredondando para três casas decimais:
Dica prática para prova: geralmente basta dar
com duas ou três casas decimais; aqui
(duas casas) ou
(três casas) são aceitáveis dependendo da instrução do exame.
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b)
(c) (aprox.
)
(aprox.
)
(b)
(c)