Um orçamentista coletou o preço (em R$) do saco de cimento em 7 lojas diferentes da região para uma licitação:
Amostra: 28.50, 32.00, 30.00, 27.80, 31.20, 29.90, 33.50

Calcule:

a) O preço médio do material.
b) A amplitude total dos preços.
c) A variância e o desvio padrão populacional.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado). A amostra de preços (em R$) é:
28,50,\;32,00,\;30,00,\;27,80,\;31,20,\;29,90,\;33,50.
O enunciado pede:
a) o preço médio do material;
b) a amplitude total dos preços;
c) a variância populacional e o desvio padrão populacional.

Passo 2

Vamos calcular o preço médio. Primeiro a fórmula do preço médio (média aritmética) para uma amostra com n observações x_1,\dots,x_n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde \bar{x} é a média e n é o número de observações. Aqui n=7.
Calculemos a soma das observações (faço cada passo para você poder repetir na prova sem calculadora):
\sum_{i=1}^7 x_i = 28,50+32,00+30,00+27,80+31,20+29,90+33,50.
Somando em ordem:
28,50+32,00=60,50,
60,50+30,00=90,50,
90,50+27,80=118,30,
118,30+31,20=149,50,
149,50+29,90=179,40,
179,40+33,50=212,90.
Portanto \sum_{i=1}^7 x_i=212,90. Agora a média:
\bar{x}=\frac{212,90}{7}=\frac{2129}{70}.
Em decimal:
\bar{x}\approx30,414285714\\ (\text{R\$}).
Na prática, para preços costuma-se arredondar para duas casas decimais: \bar{x}\approx30,41\\ \text{R\$}.

Passo 3

Agora a amplitude total dos preços (também chamada de alcance) é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. Identificando:
\max x_i = 33,50,\qquad \min x_i = 27,80.
Portanto a amplitude é
\text{amplitude}=\max x_i-\min x_i=33,50-27,80=5,70\\ (\text{R\$}).

Passo 4

Vamos à variância populacional. Primeiro a definição: para uma população com n valores x_1,\dots,x_n e média \mu, a variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu)^2.
No caso em que trabalhamos diretamente com a amostra assumindo que ela representa a população inteira, usamos a média calculada \mu=\bar{x} e a fórmula acima com divisão por n. Uma forma prática (e numérica estável) de calcular \sigma^2 é usar:
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - \mu^2.
Aqui vou calcular \sum x_i^2 explicitamente (cada quadrado mostrado) para você poder copiar passo a passo na prova.
Calcule os quadrados:
28,50^2=812,25,
32,00^2=1024,00,
30,00^2=900,00,
27,80^2=772,84,
31,20^2=973,44,
29,90^2=894,01,
33,50^2=1122,25.
Somando:
\sum_{i=1}^7 x_i^2=812,25+1024,00+900,00+772,84+973,44+894,01+1122,25=6498,79.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula com soma dos quadrados:
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2=\frac{6498,79}{7}=928,3985714285714\ldots
Já calculamos a média exata \mu=\dfrac{2129}{70}. Calculamos também \mu^2; escrevendo em fração:
\mu^2=\left(\frac{2129}{70}\right)^2=\frac{4\,532\,641}{4\,900}\approx925,0287755102041.
Então a variância populacional é
\sigma^2=\frac{1}{7}\sum_{i=1}^7 x_i^2-\mu^2 =928,3985714285714-925,0287755102041\approx3,3697959183673.
Arredondando para dois ou três algarismos decimais (útil em provas/práticas), podemos registrar
\sigma^2\approx3,3698\\ (\text{R\$}^2)
ou, com duas casas decimais, \sigma^2\approx3,37\\ (\text{R\$}^2).

Passo 6

Para obter o desvio padrão populacional \sigma tiramos a raiz quadrada da variância:
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{3,3697959183673}\approx1,835700\\ (\text{R\$}).
Arredondando para três casas decimais:
\sigma\approx1,836\\ (\text{R\$}).
Dica prática para prova: geralmente basta dar \sigma com duas ou três casas decimais; aqui 1,84\\ \text{R\$} (duas casas) ou 1,836\\ \text{R\$} (três casas) são aceitáveis dependendo da instrução do exame.

Resposta

(a) \bar{x}=30,414285714\\ \text{R\$} (aprox. 30,41\\ \text{R\$})
(b) \text{amplitude}=5,70\\ \text{R\$}
(c) \sigma^2=3,369795918\\ \text{R\$}^2 (aprox. 3,3698)
\sigma=1,835700\\ \text{R\$} (aprox. 1,836\\ \text{R\$})

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