Os relatórios de uma eleição mostraram que certo candidato recebeu 46 \% dos votos. Determine a probabilidade de que uma pesquisa de opinião de
200 pessoas selecionadas ao acaso da população de eleitores a maioria dissesse votar no candidato.

Passo 1

O enunciado diz que um candidato tem proporção real de votos p=0,46 na população e que fazemos uma pesquisa com n=200 eleitores escolhidos ao acaso. Definimos a variável aleatória X como o número de entrevistados que dizem votar no candidato. O problema pede a probabilidade de a maioria (isto é, pelo menos 101 de 200) dizer que votaria nele: queremos
P(X \ge 101).

Passo 2

Como X segue distribuição binomial com parâmetros n=200 e p=0,46, temos
\mu = E[X] = np = 200\cdot0,46 = 92,
\sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = np(1-p) = 200\cdot0,46\cdot0,54 = 49{,}68,
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\sigma = \sqrt{49{,}68}\approx7{,}045.

Passo 3

Para n grande, aplicamos a aproximação normal à binomial:
X \approx N(\mu,\sigma^2).

Passo 4

Usamos correção de continuidade para P(X \ge 101):
P(X \ge 101) \approx P\bigl(X_{\text{normal}}>100,5\bigr).

Passo 5

Padronizando,
Z = \frac{100,5 - \mu}{\sigma} = \frac{100,5 - 92}{7,045} \approx 1,206.
Assim
P(X \ge 101) \approx P\bigl(Z \ge 1,206\bigr) = 1 - \Phi(1,206) \approx 1 - 0,8869 = 0,1131.

Resposta

A probabilidade aproximada de a maioria dizer que votaria no candidato é de 0,1131 (ou cerca de 11{,}3\%).

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