Foi descoberto que 2 \% das ferramentas produzidas por certa máquina eram defeituosas. Qual é a probabilidade de que um carregamento de 400 destas ferramentas,
2 \% ou menos sejam defeituosas?

Passo 1

O enunciado diz que a cada ferramenta produzida a máquina tem probabilidade de defeito p=2\%. Selecionamos n=400 ferramentas e definimos a variável aleatória X = número de defeituosas nesse lote. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=400,\;p=0,02)
e queremos calcular
P\bigl(\tfrac{X}{400}\le0,02\bigr) \quad\Longleftrightarrow\quad P(X\le8).

Passo 2

Como n é grande e p pequeno, mas np=400\cdot0,02=8 e n(1-p)=392 são ambos maiores que 5, podemos usar a aproximação normal à binomial:
X\approx N(\mu,\sigma^2),
onde \mu = np e \sigma^2 = np(1-p).

Passo 3

Calculamos a média e o desvio-padrão:
\mu = 400\cdot0,02 = 8,
\sigma^2 = 400\cdot0,02\cdot0,98 = 7,84 \quad\Longrightarrow\quad \sigma = \sqrt{7,84}\approx2,80.

Passo 4

Empregamos correção de continuidade para P(X\le8):
P(X\le8)\approx P\bigl(X<8{,}5\bigr).
Padronizando na normal:
Z = \frac{8,5 - \mu}{\sigma} = \frac{8,5 - 8}{2,80} \approx 0,18.

Passo 5

Consultando a tabela da normal padrão,
P(Z\le0,18)\approx0,571.
Portanto,
P(X\le8)\approx0,571.

Resposta

A probabilidade de que, num lote de 400 ferramentas, 2% ou menos sejam defeituosas é aproximadamente 0,571 (ou 57,1%).

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