Foi descoberto que 2 \% das ferramentas produzidas por certa máquina eram defeituosas. Qual é a probabilidade de que um carregamento de 400 destas ferramentas,
3 \% ou mais sejam defeituosas?

Passo 1

O enunciado diz que cada ferramenta tem probabilidade de defeito p=0,02 e que escolhemos n=400 ferramentas. Queremos a probabilidade de que pelo menos 3\% delas sejam defeituosas, isto é, que o número X de defeituosas satisfaça X\ge0,03\cdot400=12. O modelo natural é X\sim\mathrm{Binomial}(n=400,p=0,02), e para resolver usamos a aproximação normal, pois n é grande e p é pequeno, mas np e n(1-p) são maiores que 5.

Passo 2

Calculemos a média \mu e o desvio-padrão \sigma de X:
\mu = n\,p = 400\cdot0,02 = 8,
\sigma^2 = n\,p\,(1-p) = 400\cdot0,02\cdot0,98 = 7,84,
\sigma = \sqrt{7,84} \approx 2,8.

Passo 3

Para usar a aproximação normal com correção de continuidade, substituímos
P(X\ge12) \approx 1 - P\bigl(X\le11\bigr) \approx 1 - \Phi\!\biggl(\frac{11{,}5 - \mu}{\sigma}\biggr),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

Calculemos o valor de z:
z = \frac{11{,}5 - 8}{2,8} = \frac{3{,}5}{2,8} \approx 1{,}25.
Logo
P(X\ge12)\approx 1 - \Phi(1{,}25)\approx 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056.

Resposta

A probabilidade de que 3\% ou mais das 400 ferramentas sejam defeituosas é aproximadamente 0,106 (ou 10{,}6\%).

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