Os relatórios de uma eleição mostraram que certo candidato recebeu 46 \% dos votos. Determine a probabilidade de que uma pesquisa de opinião de
1000 pessoas selecionadas ao acaso da população de eleitores a maioria dissesse votar no candidato.

Passo 1

O enunciado diz que na população real a proporção de eleitores que votam no candidato é p = 46\%. Em uma pesquisa com n=1000 eleitores aleatórios, queremos a probabilidade de que a maioria (mais de 500) diga que votaria nesse candidato. Para isso, modelamos o número de votos favoráveis por uma binomial e usamos a aproximação normal (de Moivre–Laplace).

Passo 2

Definimos X como o número de entrevistados que dizem votar no candidato. Então
X \sim \mathrm{Binomial}(n=1000,\;p=0,46).
Calculamos a média e a variância de X:
E(X)=n\,p=1000\times0,46=460,
\mathrm{Var}(X)=n\,p\,(1-p)=1000\times0,46\times0,54=248,4.

Passo 3

Como n é grande, aproximamos X por uma variável normal
Y\sim N\bigl(E(X),\,\mathrm{Var}(X)\bigr)=N(460,\,248,4).
Queremos
P(X>500)=P(X\ge501)\approx P\bigl(Y>500,5\bigr),
usando correção de continuidade com o ponto 500,5.

Passo 4

Padronizando Y:
Z=\frac{Y-460}{\sqrt{248,4}}\quad\Longrightarrow\quad P\bigl(Y>500,5\bigr)=P\!\Bigl(Z>\frac{500,5-460}{\sqrt{248,4}}\Bigr) =P\bigl(Z>2,57\bigr),
onde \sqrt{248,4}\approx15,76 e \frac{500,5-460}{15,76}\approx2,57.

Passo 5

Na tabela da normal padrão,
P(Z>2,57)=1-\Phi(2,57)\approx1-0,9949=0,0051.

Resposta

A probabilidade de que a maioria dos 1000 entrevistados diga votar no candidato é aproximadamente 0,0051 (ou 0,51\%).

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