1. Releia o Exemplo 6 e discuta por que Ă© tecnicamente incorreto dizer que a função em (13) Ă© uma “solução” do PVI no intervalo [0, infty).

Passo 1

O enunciado remete ao Exemplo 6, em que se apresenta a função definida em ( 13) como candidata a “solução” do PVI
y'=f(t,y), y(0)=y0
no intervalo [0,infty). Nosso objetivo é usar a definição de solução de um PVI e a regularidade exigida (continuidade de y e de y') para ver por que não faz sentido técnico falar em solução em [0,infty).

Passo 2

Definição de solução de PVI:
1. Existe um intervalo IsubsetR que contenha o ponto inicial t0.
2. A função y:ItoR deve ser de classe C^1 em I.
3. Para todo tin I vale
y'(t)=fl(t,y(t)r)
e ainda
y(t0)=y0
Note que, por convenção em teoria de EDOs, o intervalo I costuma ser aberto (ou, na pior hipótese, semi-aberto) de forma a garantir C^1 em torno de t0.

Passo 3

Vamos inspecionar a função de (
Nesses exemplos costuma ocorrer que a derivada em , mas
não existe ou não está definido (pois não há ramo para ).]

Passo 4

Como consequência, a função não é de classe C^1 em nenhuma vizinhança aberta de t=0: embora satisfaça a EDO para todo t>0 e atenda y(0)=y0, ela não tem derivada comum à esquerda e à direita em 0. Em outras palavras, não existe um intervalo aberto (-varepsilon,varepsilon) sobre o qual y seja C^1.

Passo 5

Além disso, a convenção padrão exige que o intervalo de definição de uma solução seja aberto em torno de t0. O conjunto [0,infty) falha nesse requisito em t=0. Portanto, não podemos chamar l[0,inftyr) de domínio de solução no sentido clássico de PVI.

Resposta

Tecnicamente está incorreto dizer que a função de ( 13) é solução do PVI em [0,infty) porque, embora ela satisfaça a equação diferencial para t>0 e y(0)=y0, ela não é C^1 num intervalo aberto de t que contenha 0. A derivada em 0 existe apenas pela direita, de modo que a função não satisfaz a definição clássica de solução de um PVI em torno de t0=0.

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