- Releia o Exemplo 6 e discuta por que Ă© tecnicamente incorreto dizer que a função em (13) Ă© uma “solução” do PVI no intervalo
.
Passo 1
O enunciado remete ao Exemplo
, em que se apresenta a função definida em (
) como candidata a “solução” do PVI
no intervalo
. Nosso objetivo é usar a definição de solução de um PVI e a regularidade exigida (continuidade de
e de
) para ver por que não faz sentido técnico falar em solução em
.
Passo 2
Definição de solução de PVI:
. Existe um intervalo
que contenha o ponto inicial
.
. A função
deve ser de classe
em
.
. Para todo
vale
e ainda
Note que, por convenção em teoria de EDOs, o intervalo
costuma ser aberto (ou, na pior hipótese, semi-aberto) de forma a garantir
em torno de
.
Passo 3
Vamos inspecionar a função de (
Nesses exemplos costuma ocorrer que a derivada em , mas
não existe ou não está definido (pois não há ramo para
).]
Passo 4
Como consequência, a função não é de classe
em nenhuma vizinhança aberta de
: embora satisfaça a EDO para todo
e atenda
, ela não tem derivada comum à esquerda e à direita em
. Em outras palavras, não existe um intervalo aberto
sobre o qual
seja
.
Passo 5
Além disso, a convenção padrão exige que o intervalo de definição de uma solução seja aberto em torno de
. O conjunto
falha nesse requisito em
. Portanto, não podemos chamar
de domínio de solução no sentido clássico de PVI.
Resposta
Tecnicamente está incorreto dizer que a função de (
) é solução do PVI em
porque, embora ela satisfaça a equação diferencial para
e
, ela não é
num intervalo aberto de
que contenha
. A derivada em
existe apenas pela direita, de modo que a função não satisfaz a definição clássica de solução de um PVI em torno de
.