Sendo: A=[-2,5], B=(2,7) e C=(6,+infty). Determine:
a) A cap C
b) A cap B
c) A-B
d) A cup C
e) (A cup C) cap B
f) (A-C) cap B

Passo 1

O enunciado define os intervalos
A=[-2,5], B=(2,7) e C=(6,+infty), e pede operações de teoria de conjuntos: interseção ( cap), união ( cup) e diferença ( setminus). Vamos usar as definições:
  • Xcap Y é o conjunto de elementos comuns a X e Y.
  • Xcup Y é o conjunto de elementos que estão em X ou em Y (ou em ambos).
  • Xsetminus Y é o conjunto de elementos de X que não estão em Y.
    Em todos os casos temos de prestar atenção em quais extremos são abertos ou fechados.

Passo 2

Para Acap C, interseção de [-2,5] com (6,infty). Como todo xin A satisfaz x<=5 e todo yin C satisfaz y>6, não há sobreposição.
Acap C=varnothing

Passo 3

Para Acap B, interseção de [-2,5] com (2,7). Os x comuns devem satisfazer simultaneamente -2<= x<=5 e 2<x<7, logo
Acap B=(2,5]

Passo 4

Para Asetminus B, pegamos os xin[-2,5] que não pertencem a (2,7).
  • Se x<=2, então xnotin(2,7), logo xin Asetminus B.
  • Em x=2, como 2notin(2,7), temos 2in Asetminus B.
  • Para 2<x<=5, esses x estão em (2,7), logo são excluídos.
    Assim
Asetminus B=[-2,2]

Passo 5

Para Acup C, união de [-2,5] e (6,infty). Há um “gap” entre 5 e 6, então simplesmente
Acup C=[-2,5]cup(6,infty)

Passo 6

Para (Acup C)cap B, usamos
(Acup C)cap B = (Acap B);cup;(Ccap B)
Já temos Acap B=(2,5]. Agora
Ccap B = (6,infty)cap(2,7) = (6,7)
Portanto
(Acup C)cap B = (2,5];cup;(6,7)

Passo 7

Para (Asetminus C)cap B, antes note que Asetminus C são os elementos de [-2,5] fora de (6,infty). Como não há sobreposição (pois 5<6),
Asetminus C = A = [-2,5]
Logo
(Asetminus C)cap B = [-2,5]cap(2,7) = (2,5]

Resposta

a) varnothing
b) (2,5]
c) [-2,2]
d) [-2,5]cup(6,infty)
e) (2,5]cup(6,7)
f) (2,5]

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