Relembre que ln (1+x)=sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k para |x|<1. Seja f(x)=x^3 ln (1+4 x^2). Assinale as alternativas abaixo com V, caso verdadeira, e com F, caso seja falsa.
( ) A série de Maclaurin de f(x) tem raio de convergência R=1.
() f^(23)(0)=22!cdot 4^23.
() f^(15)(0)=4^1515.
() f^(k)(0)=0 para todo k >= 1.
() f^(33)(0)=33!cdot 4^1515.
( ) A série de Maclaurin de f(x) converge em x=0.75.
( ) A série de Maclaurin de f^prime(x) é dada por sumk=1^infty (-1)^k+1k(2 k+3) 4^k ln (4) x^2 k+2.
( ) Se F(x) é uma primitiva de f(x), então sua série de Maclaurin é dada por F(0)+sumk=1^infty (-1)^k+1 4^k2(k^2+2 k) x^2 k+4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f(x) = x^3 \ln(1 + 4x^2) $ e algumas afirmações sobre a série de Maclaurin dessa função. Nosso objetivo é verificar se cada uma dessas afirmações é verdadeira (V) ou falsa (F).
Pra resolver isso, vamos precisar:
  • Saber como expandir a função $ \ln(1+x) $ em série de Taylor.
  • Entender o que é a série de Maclaurin e o raio de convergência.
  • Saber como calcular derivadas de ordem alta de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em 0. Para a função $ \ln(1+x) $, temos a expansão:
ln(1+x)
Isso significa que podemos substituir $ x $ na nossa função $ f(x) $ usando essa série.

Passo 3

Vamos encontrar a série de Maclaurin de $ f(x) $. Substituindo na expressão de $ f(x) $:
f(x)
Essa é a série de Maclaurin de $ f(x) $.

Passo 4

Agora, vamos analisar a primeira afirmação:
( ) A série de Maclaurin de $ f(x) $ tem raio de convergência $ R = 1 $.
Para encontrar o raio de convergência, observamos que na série $ \ln(1+x) $, o raio de convergência é 1. Porém, na nossa série de $ f(x) $, substituímos $ x $ por $ 4x^2 $, então a condição de convergência fica:
f(x)
Portanto, o raio de convergência é $ R = \frac{1}{2} $, não 1. Então, essa afirmação é falsa.

Passo 5

Vamos para a segunda afirmação:
$ f^{(23)}(0) = 22! \cdot 4^{23} $.
Para encontrar a derivada de ordem 23 em 0, observamos que na série de Maclaurin de $ f(x) $, o termo geral é:
f^(23)(0) = 22! cdot 4^23
A derivada de ordem $ n $ de $ x^m $ em 0 é $ m! $ se $ m = n $, e 0 caso contrário. Então, para $ f^{(23)}(0) $, precisamos que $ 2k + 3 = 23 $, ou seja, $ k = 10 $.
Então:
f(x)
Isso não corresponde a $ 22! \cdot 4^{23} $, então a afirmação é falsa.

Passo 6

Terceira afirmação:
$ f^{(15)}(0) = \frac{4^{15}}{15} $.
Usando a mesma lógica, queremos que $ 2k + 3 = 15 $, ou seja, $ k = 6 $.
Então:
f^(15)(0) = 4^1515
Essa expressão não é igual a $ \frac{4^{15}}{15} $, portanto, a afirmação é falsa.

Passo 7

Quarta afirmação:
$ f^{(k)}(0) = 0 $ para todo $ k \geq 1 $.
Como vimos nos passos anteriores, $ f(x) $ possui termos com potências de $ x $ a partir de 3. Portanto, as derivadas até a segunda ordem são zero. Porém, para derivadas de ordem 3 ou superiores (quando $ 2k + 3 = k $), temos valores diferentes de zero. Logo, essa afirmação é falsa.

Passo 8

Quinta afirmação:
$ f^{(33)}(0) = 33! \cdot \frac{4^{15}}{15} $.
Aplicando a mesma lógica, queremos $ 2k + 3 = 33 $, então $ k = 15 $.
Então:
f^(33)(0) = 33! cdot 4^1515
Isso corresponde exatamente à expressão dada. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 9

Sexta afirmação:
A série de Maclaurin de $ f(x) $ converge em $ x = 0.75 $.
Sabemos que o raio de convergência é $ \frac{1}{2} $. Então, para $ x = 0.75 $, temos $ |x| = 0.75 > \frac{1}{2} $. Isso está fora do intervalo de convergência, então a série não converge nesse ponto. A afirmação é falsa.

Passo 10

Sétima afirmação:
A série de Maclaurin de $ f’(x) $ é dada por $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k}(2k + 3) 4^{k} \ln(4) x^{2k + 2} $.
Para encontrar $ f’(x) $, derivamos a série de $ f(x) $:
f'(x)
Note que não há $ \ln(4) $ na expressão correta. Portanto, a afirmação está errada.

Passo 11

Oitava afirmação:
Se $ F(x) $ é uma primitiva de $ f(x) $, então sua série de Maclaurin é dada por $ F(0) + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1} 4{k}}{2(k2 + 2k)} x^{2k + 4} $.
Integrando a série de $ f(x) $, temos:
F(x)
A expressão fornecida na afirmação tem $ 2(k^2 + 2k) $ no denominador, que não corresponde à expressão correta. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

  1. F
  2. F
  3. F
  4. F
  5. V
  6. F
  7. F
  8. F

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