Relembre as regras de derivação de funções escrevendo em cada caso como calcularíamos a derivada indicada:
c) (f \cdot g)^{\prime}(x)=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função definida como produto de duas funções f e g. O conteúdo envolvido é a regra do produto, que podemos obter a partir da definição de derivada pelo limite.

Passo 2

Pela definição de derivada temos
(f\cdot g)'(x) =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)\,g(x+h)-f(x)\,g(x)}{h}.
Somamos e subtraímos f(x+h)\,g(x) no numerador para separar em duas parcelas:
f(x+h)\,g(x+h)-f(x)\,g(x) =\bigl[f(x+h)\,g(x+h)-f(x+h)\,g(x)\bigr] +\bigl[f(x+h)\,g(x)-f(x)\,g(x)\bigr].
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(f\cdot g)'(x) =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)\bigl[g(x+h)-g(x)\bigr]}{h} +\lim_{h\to0}\frac{g(x)\bigl[f(x+h)-f(x)\bigr]}{h}.
Como f e g são deriváveis em x, podemos avaliar os limites:
(f\cdot g)'(x) =f(x)\,\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} +g(x)\,\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =f(x)\,g'(x)+g(x)\,f'(x).

Resposta

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)

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