Um relógio mecânico de parede apresenta ponteiro dos minutos com 0,5 m de comprimento e o ponteiro das horas com 0,25 m. Representando o ponteiro dos minutos por um vetor A e o das horas por um vetor B, determine o ângulo entre eles e o módulo de A-B para os instantes em que o relógio marca:
12 h .

Passo 1

O enunciado dá dois vetores coplanares que representam os ponteiros de um relógio às 12 h:
A é o ponteiro dos minutos, com magnitude |A|=0,5,m.
B é o ponteiro das horas, com magnitude |B|=0,25,m.
Pede-se (a) o ângulo theta entre A e B e (b) o módulo de A-B. Vamos usar produto escalar e norma de vetor para resolver.

Passo 2

Lembrando que, em geral,
Acdot B = |A|,|B|costheta,
então
costheta = Acdot B|A|,|B|

Passo 3

Às 12 h ambos os ponteiros coincidem, isto é, estão na mesma direção e sentido. Logo
Acdot B = |A|,|B| = (0,5)(0,25) =0,125
Substituindo em costheta:
costheta = 0,125(0,5)(0,25) = 1 Longrightarrow theta = arccos(1)=0^circ

Passo 4

Para o módulo de A-B usamos
|A-B| =raiz|A|^2 + |B|^2 - 2,|A|,|B|costheta
Como costheta=1, temos
|A-B| =raiz0,5^2 + 0,25^2 - 2cdot0,5cdot0,25cdot1 =raiz0,25 + 0,0625 - 0,25 =raiz0,0625 =0,25 m

Resposta

O ângulo entre A e B é 0^circ.
O módulo de A-B é 0,25 m.

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