Um relógio mecânico de parede apresenta ponteiro dos minutos com 
  de comprimento e o ponteiro das horas com 
 . Representando o ponteiro dos minutos por um vetor 
  e o das horas por um vetor B, determine o ângulo entre eles e o módulo de A-B para os instantes em que o relógio marca:
12 h .
12 h .
Passo 1
O enunciado dá dois vetores coplanares que representam os ponteiros de um relógio às 12 h:
–  é o ponteiro dos minutos, com magnitude 
 ,m.
–  é o ponteiro das horas, com magnitude 
 ,m.
Pede-se (a) o ângulo  entre 
  e 
  e (b) o módulo de 
 . Vamos usar produto escalar e norma de vetor para resolver.
–
–
Pede-se (a) o ângulo
Passo 2
Lembrando que, em geral,
então
Passo 3
Às 12 h ambos os ponteiros coincidem, isto é, estão na mesma direção e sentido. Logo
Substituindo em 
 :
Passo 4
Para o módulo de 
  usamos
Como 
 , temos
Resposta
O ângulo entre 
  e 
  é 
 .
O módulo de  é 
  m.
O módulo de