Renata vai ao dentista apertar o aparelho a cada 16 dias. Lígia, que já está com o tratamento mais avançado, vai a cada 40 dias. Hoje elas se encontraram no consultório. Daqui a quantos dias elas vão se encontrar novamante?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Renata vai ao dentista a cada 16 dias.
  • Lígia vai ao dentista a cada 40 dias.
  • Hoje elas se encontraram no consultório (ou seja, no dia 0 ambas compareceram).
    A pergunta é: daqui a quantos dias elas vão se encontrar novamente no consultório?

Passo 2

Entendendo o que significa “encontrar novamente”: isso quer dizer achar o menor número de dias positivo em que as duas tenham consulta ao mesmo tempo. Em linguagem matemática, procuramos o menor inteiro positivo que seja múltiplo de 16 e também múltiplo de 40. Esse número chama-se mínimo múltiplo comum (MMC, ou em inglês LCM).
Uma maneira direta e intuitiva é listar alguns múltiplos de cada período até achar o primeiro que apareça nos dois:
  • Múltiplos de 16: 16,\,32,\,48,\,64,\,80,\,96,\dots
  • Múltiplos de 40: 40,\,80,\,120,\dots
Comparando as duas listas, o primeiro número que aparece em ambas é 80. Então, pela listagem, o MMC é 80. Agora vamos ver métodos que explicam por que isso funciona e que são mais eficientes quando os números são maiores.

Passo 3

Método por fatoração em primos (explicação e aplicação):
  • A ideia: escrever cada número como produto de potências de primos; para o MMC, pegamos cada primo com a maior potência que aparece em qualquer fatoração.
Fatoração em primos de cada período:
16 = 2^4
40 = 2^3\cdot 5
Para o MMC, usamos para o primo 2 a maior potência entre 2^4 e 2^3, que é 2^4; para o primo 5 aparece apenas em 40 com potência 5^1. Assim:
\mathrm{MMC}(16,40) = 2^{\max(4,3)}\cdot 5^{\max(0,1)} = 2^4\cdot 5 = 16\cdot 5.
Calculando:
16\cdot 5 = 80.
Esse procedimento dá 80 como MMC.

Passo 4

Método via máximo divisor comum (MDC) e relação com o MMC (outra forma de confirmar):
  • Propriedade importante: para inteiros positivos a e b,
\mathrm{MMC}(a,b)\cdot \gcd(a,b) = a\cdot b.
Logo
\mathrm{MMC}(a,b) = \frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}.
Vamos calcular o \gcd(16,40) usando o algoritmo de Euclides:
40 = 2\cdot 16 + 8
16 = 2\cdot 8 + 0
Quando o resto fica 0, o último resto não nulo é o \gcd. Aqui \gcd(16,40)=8.
Agora aplicando a fórmula:
\mathrm{MMC}(16,40) = \frac{16\cdot 40}{\gcd(16,40)} = \frac{640}{8} = 80.
Ambos os métodos confirmam que o menor número de dias em que elas voltam a se encontrar é 80.

Passo 5

Interpretação final para a situação prática: como hoje elas se encontraram (dia 0), daqui a \,80 dias ambas terão consulta no mesmo dia novamente. Isso significa que a próxima coincidência de consultas acontece daqui a 80 dias.

Resposta

80 dias

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