Renata vai ao dentista apertar o aparelho a cada 16 dias. Lígia, que já está com o tratamento mais avançado, vai a cada 40 dias. Hoje elas se encontraram no consultório. Daqui a quantos dias elas vão se encontrar novamante?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Renata vai ao dentista a cada
dias. - Lígia vai ao dentista a cada
dias. - Hoje elas se encontraram no consultório (ou seja, no dia
ambas compareceram).
A pergunta é: daqui a quantos dias elas vão se encontrar novamente no consultório?
Passo 2
Entendendo o que significa “encontrar novamente”: isso quer dizer achar o menor número de dias positivo em que as duas tenham consulta ao mesmo tempo. Em linguagem matemática, procuramos o menor inteiro positivo que seja múltiplo de
e também múltiplo de
. Esse número chama-se mínimo múltiplo comum (MMC, ou em inglês LCM).
Uma maneira direta e intuitiva é listar alguns múltiplos de cada período até achar o primeiro que apareça nos dois:
- Múltiplos de
: - Múltiplos de
:
Comparando as duas listas, o primeiro número que aparece em ambas é
. Então, pela listagem, o MMC é
. Agora vamos ver métodos que explicam por que isso funciona e que são mais eficientes quando os números são maiores.
Passo 3
Método por fatoração em primos (explicação e aplicação):
- A ideia: escrever cada número como produto de potências de primos; para o MMC, pegamos cada primo com a maior potência que aparece em qualquer fatoração.
Fatoração em primos de cada período:
Para o MMC, usamos para o primo
a maior potência entre
e
, que é
; para o primo
aparece apenas em
com potência
. Assim:
Calculando:
Esse procedimento dá
como MMC.
Passo 4
Método via máximo divisor comum (MDC) e relação com o MMC (outra forma de confirmar):
- Propriedade importante: para inteiros positivos
e ,
Logo
Vamos calcular o
usando o algoritmo de Euclides:
Quando o resto fica
, o último resto não nulo é o
. Aqui
.
Agora aplicando a fórmula:
Ambos os métodos confirmam que o menor número de dias em que elas voltam a se encontrar é
.
Passo 5
Interpretação final para a situação prática: como hoje elas se encontraram (dia
), daqui a
dias ambas terão consulta no mesmo dia novamente. Isso significa que a próxima coincidência de consultas acontece daqui a
dias.