O rendimento domiciliar per capita é calculado como a razão entre o total dos rendimentos domiciliares (em termos nominais) e o total dos moradores. Nesse cálculo, são considerados os rendimentos de trabalho e de outras fontes. Todos os moradores são considerados no cálculo, inclusive os moradores classificados como pensionistas, empregados domésticos e parentes dos empregados domésticos. O rendimento nominal mensal domiciliar per capita da população residente no estado de Minas Gerais em 2017 foi de R$ . Supondo uma variância de Supondo uma variância de , determine os limites estimados onde se encontram ^2 dos rendimentos.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A ideia é encontrar um intervalo em torno da média (R$ 1.224,00) que contem pelo menos 75% dos rendimentos domiciliares per capita, sabendo que a variância é 11.025,00 R$².
Conteúdo: Desvio‐padrão e Desigualdade de Chebyshev.
O que precisamos:
  1. Calcular o desvio‐padrão a partir da variância.
  2. Usar a Desigualdade de Chebyshev para achar quantos desvios‐padrão (k) garantem pelo menos 75% de cobertura.
  3. Calcular o intervalo 1.224,00) que contem pelo menos 75% dos rendimentos domiciliares per capita, sabendo que a variância é 11.025,00 R.

Passo 2

Primeiro, desvio‐padrão é a raiz quadrada da variância. Então:
sigma = raiz11.025 = 105
Isso significa que, em média, cada renda fica a 105 reais da média de 1.224 reais.

Passo 3

Agora a Desigualdade de Chebyshev diz que, para qualquer distribuição,
Pl(|X - mu| < ksigmar) ;>=; 1 - 1k^2
Queremos que essa probabilidade seja pelo menos 75%, ou seja,
1 - 1k^2 ;>=; 0,75

Passo 4

Vamos isolar 1 - 1k^2 = 0,75 Longrightarrow 1k^2 = 0,25 Longrightarrow k^2 = 4 Longrightarrow k = 2 :

Passo 5

Então, pelo menos 75% dos rendimentos estão dentro de l[mu - 2sigma,;mu + 2sigmar] = l[1224 - 2cdot105,;1224 + 2cdot105r] = [1224 - 210,;1224 + 210] desvios‐padrão da média. O intervalo é:

Resposta

O intervalo estimado que contém pelo menos 75% dos rendimentos é de R$ 1.014,00 até R$ 1.434,00.

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