Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
r(t)=(2 t, 23 raiz8 t^3, t^2), t in[0,3]

Passo 1

O enunciado dá a curva
vec r(t)=l(2t,;tfrac23raiz8,t^3,;t^2r), tin[0,3],
e pede reparametrizar por comprimento de arco.
Conteúdo: parâmetro de arco. Vamos precisar
  1. calcular a velocidade vec r,'(t),
  2. obter a função arco s(t)=integral0^t|vec r,'(u)|,du,
  3. inverter s(t) para t(s) e
  4. escrever widetildevec r(s)=vec rl(t(s)r).

Passo 2

Calcular a derivada
vec r,'(t) =l(2,;4raiz2,t^2,;2tr),
pois tfracddtl(tfrac23raiz8,t^3r)=tfrac23raiz8cdot3t^2=4raiz2,t^2.

Passo 3

O módulo da velocidade é
|vec r,'(t)| =raiz2^2+(4raiz2,t^2)^2+(2t)^2 =raiz4+32t^4+4t^2 =2raiz8t^4+t^2+1
Logo o comprimento de arco desde 0 até t é
s(t) =integral0^t|vec r,'(u)|,du =integral0^t2raiz8u^4+u^2+1,du

Passo 4

Para obter a reparametrização, chamamos t(s) a inversa da função
smapstointegral0^s2raiz8u^4+u^2+1,du
Em geral esse integral não se expressa em termos de funções elementares, então mantemos a relação implícita
s=integral0^t(s)2raiz8u^4+u^2+1,du

Passo 5

Substituindo t=t(s) em vec r(t) obtemos a parametrização por comprimento de arco
widetildevec r(s) =vec rl(t(s)r) =l(2,t(s),;tfrac23raiz8,l[t(s)r]^3,;l[t(s)r]^2r),
onde t(s) satisfaz
s=integral0^t(s)2raiz8u^4+u^2+1,du

Resposta

widetildevec r(s) =l(2,t(s),;tfrac23raiz8,l[t(s)r]^3,;l[t(s)r]^2r),
com t(s) definida implicitamente por
s=integral0^t(s)2raiz8u^4+u^2+1,du

Exercícios relacionados