Seja A in Mn times n inversível tal que det A=5. Determine det(3 A), det(2 A^-1) e det[(2 A)^-1].

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz invertível de ordem n com det A=5 e pede os valores de det(3A), det(2A^-1) e det[(2A)^-1]. Vamos usar três propriedades básicas da determinante:
  1. multiplicatividade: det(AB)=det Acdotdet B.
  2. homogeneidade de grau n: det(kA)=k^ndet A para escalar k.
  3. inversa: det(A^-1)=(det A)^-1.

Passo 2

Para det(3A), aplicamos a homogeneidade com k=3:
det(3A)=3^ndet(A)=3^ncdot5

Passo 3

Para det(2A^-1), podemos ver 2A^-1=(2I),A^-1 e usar multiplicatividade e homogeneidade:
det(2A^-1)=det(2I),det(A^-1)=2^ncdot1det(A)=2^ncdot15=2^n5

Passo 4

Para det[(2A)^-1], usamos primeiro que a determinante do inverso é o inverso da determinante:
detl[(2A)^-1r]=l(det(2A)r)^-1 =l(2^ndet(A)r)^-1 =12^ncdot5

Resposta

det(3A)=3^ncdot5
det(2A^-1)=2^n5
detl[(2A)^-1r]=12^ncdot5

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