Considere o sistema
:
(a) Mostre que, se
for invertível, então o sistema admite apenas a solução
.
(b) Mostre que, se
(sistema homogêneo) e se
for invertível então a única solução do sistema é a solução trivial.
(a) Mostre que, se
(b) Mostre que, se
Passo 1
O enunciado trata de resolver o sistema linear
quando
é uma matriz quadrada invertível. Esse conteúdo é da teoria de matrizes e soluções de sistemas lineares, e vamos usar a propriedade fundamental de que, se
é invertível, existe uma matriz
tal que
.
Passo 2
Para mostrar que existe solução e que ela vale
, basta multiplicar ambos os lados de
pela esquerda por
. Como
, obtemos
Isso prova que
satisfaz o sistema.
Passo 3
Para ver que não pode haver outra solução, suponha que
e
sejam duas soluções de
. Então
subtraindo as duas equações,
Como
é invertível, a única forma de
ocorrer é com
. Logo
, isto é,
. Assim a solução é única.
Passo 4
No caso homogêneo
, aplicamos diretamente o resultado do passo 2:
E pelo mesmo argumento de unicidade do passo 3, essa é a única solução. Essa é a chamada solução trivial.
Resposta
(a) A única solução é
.
(b) Se , a única solução é a trivial
.
(b) Se