Considere o sistema A X=B :
(a) Mostre que, se A for invertível, então o sistema admite apenas a solução X=A^-1 cdot B.
(b) Mostre que, se B=0 (sistema homogêneo) e se A for invertível então a única solução do sistema é a solução trivial.

Passo 1

O enunciado trata de resolver o sistema linear A X = B quando A é uma matriz quadrada invertível. Esse conteúdo é da teoria de matrizes e soluções de sistemas lineares, e vamos usar a propriedade fundamental de que, se A é invertível, existe uma matriz A^-1 tal que A^-1A = I.

Passo 2

Para mostrar que existe solução e que ela vale X = A^-1B, basta multiplicar ambos os lados de
A X = B
pela esquerda por A^-1. Como A^-1A = I, obtemos
A^-1(A X) = A^-1B Longrightarrow I X = A^-1B Longrightarrow X = A^-1B
Isso prova que X = A^-1B satisfaz o sistema.

Passo 3

Para ver que não pode haver outra solução, suponha que X1 e X2 sejam duas soluções de A X = B. Então
A X1 = B e A X2 = B
subtraindo as duas equações,
A(X1 - X2) = 0
Como A é invertível, a única forma de A Y = 0 ocorrer é com Y = 0. Logo X1 - X2 = 0, isto é, X1 = X2. Assim a solução é única.

Passo 4

No caso homogêneo B = 0, aplicamos diretamente o resultado do passo 2:
X = A^-1 cdot 0 = 0
E pelo mesmo argumento de unicidade do passo 3, essa é a única solução. Essa é a chamada solução trivial.

Resposta

(a) A única solução é X = A^-1B.
(b) Se B=0, a única solução é a trivial X=0.

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