Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
r(t)=(3 t-1, t+2); a partir de (-4,1)

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar por comprimento de arco a curva vec r(t) = (3t-1,;t+2), começando no ponto (-4,1). Isso cai no conteúdo de reparametrização por comprimento de arco, onde precisamos achar o parâmetro inicial, a velocidade da curva e depois reescrever t em função de s.

Passo 2

Primeiro, encontramos o valor t0 tal que vec r(t0)=(-4,1). Pela componente x:
3t0-1=-4 implies 3t0=-3 implies t0=-1
E checando em y: t0+2=-1+2=1, está consistente.

Passo 3

Em seguida, calculamos a velocidade da curva, que é o módulo do vetor derivada:
vec r,'(t)=(3,1),
portanto
|vec r,'(t)|=raiz3^2+1^2=raiz10

Passo 4

O comprimento de arco a partir de t0 até t é dado por
s(t)=integralt0^t|vec r,'(u)|,du=integral-1^traiz10,du=raiz10,(t-(-1))=raiz10,(t+1)

Passo 5

Agora invertemos essa relação para obter t em função de s:
s=raiz10(t+1) implies t+1=sraiz10 implies t(s)=sraiz10-1

Passo 6

Por fim, substituímos t(s) em vec r(t) para achar a reparametrização por arco:
vec R(s)=vec rl(t(s)r)=l(3l(tfracsraiz10-1r)-1,;l(tfracsraiz10-1r)+2r)
Simplificando as componentes, chega-se a:
vec R(s)=l(-4+tfrac3raiz10s,;1+tfrac1raiz10sr), s>=0

Resposta

vec R(s)=l(-4+tfrac3raiz10s,;1+tfrac1raiz10sr), s>=0

Exercícios relacionados