Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
; a partir de
Passo 1
O enunciado pede para reparametrizar por comprimento de arco a curva
, começando no ponto
. Isso cai no conteúdo de reparametrização por comprimento de arco, onde precisamos achar o parâmetro inicial, a velocidade da curva e depois reescrever
em função de
.
Passo 2
Primeiro, encontramos o valor
tal que
. Pela componente
:
E checando em
:
, está consistente.
Passo 3
Em seguida, calculamos a velocidade da curva, que é o módulo do vetor derivada:
portanto
Passo 4
O comprimento de arco a partir de
até
é dado por
Passo 5
Agora invertemos essa relação para obter
em função de
:
Passo 6
Por fim, substituímos
em
para achar a reparametrização por arco:
Simplificando as componentes, chega-se a: