Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada.
\delta(s)=\left(\frac{2 s}{\sqrt{13}}+1, \frac{3 s}{\sqrt{13}}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização de arco-comprimento da curva \displaystyle \delta(s)=\Bigl(\frac{2s}{\sqrt{13}}+1,\;\frac{3s}{\sqrt{13}}-1\Bigr).
Isto significa achar um parâmetro u tal que a velocidade da curva em u tenha norma unidade, ou seja \bigl\|\frac{d\gamma}{du}\bigr\|=1.

Passo 2

Calculemos a derivada de \delta em relação a s:
\delta'(s) =\Bigl(\frac{d}{ds}\bigl(\tfrac{2s}{\sqrt{13}}+1\bigr),\; \frac{d}{ds}\bigl(\tfrac{3s}{\sqrt{13}}-1\bigr)\Bigr) =\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{13}},\;\tfrac{3}{\sqrt{13}}\Bigr).

Passo 3

A norma dessa velocidade é
\bigl\|\delta'(s)\bigr\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{13}}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{13}}\Bigr)^2} =\sqrt{\frac{4+9}{13}} =\sqrt{1} =1.
Como a velocidade é identicamente 1, o parâmetro s já é exatamente o comprimento de arco contado a partir de s=0.

Resposta

A própria curva \displaystyle \gamma(s)=\delta(s) =\Bigl(\tfrac{2s}{\sqrt{13}}+1,\;\tfrac{3s}{\sqrt{13}}-1\Bigr)
está parametrizada por comprimento de arco.

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