Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada.
\delta(s)=\left(\cos \frac{s}{\sqrt{2}}, \operatorname{sen} \frac{s}{\sqrt{2}}, \frac{s}{\sqrt{2}}\right)

Passo 1

Temos a curva \gamma definida por
\gamma(t)=\bigl(\cos t,\;\operatorname{sen} t,\;t\bigr),
e queremos reparametrizá-la de modo que o parâmetro seja o comprimento de arco s. Para isso, vamos calcular a velocidade \|\gamma'(t)\|, obter s(t) e então inverter para t(s).

Passo 2

Calculamos a derivada de \gamma:
\gamma'(t)=\bigl(-\operatorname{sen} t,\;\cos t,\;1\bigr).
A norma dessa velocidade é
\|\gamma'(t)\| =\sqrt{(-\operatorname{sen} t)^2+(\cos t)^2+1^2} =\sqrt{\operatorname{sen}^2t+\cos^2t+1} =\sqrt{1+1} =\sqrt{2}.

Passo 3

O comprimento de arco a partir de t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du =\int_{0}^{t}\sqrt{2}\,du =\sqrt{2}\,t.
Logo, s e t estão relacionados por
s=\sqrt{2}\,t.

Passo 4

Invertendo essa relação, obtemos
t=\frac{s}{\sqrt{2}}.
Substituindo em \gamma(t), definimos a reparametrização por comprimento de arco:
\delta(s)=\gamma\!\Bigl(\tfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigr) =\Bigl(\cos\tfrac{s}{\sqrt{2}},\;\operatorname{sen}\tfrac{s}{\sqrt{2}},\;\tfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigr).

Resposta

\delta(s)=\bigl(\cos\tfrac{s}{\sqrt{2}},\;\operatorname{sen}\tfrac{s}{\sqrt{2}},\;\tfrac{s}{\sqrt{2}}\bigr),
que é a reparametrização de \gamma pelo comprimento de arco.

Exercícios relacionados