Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada.
Passo 1
O enunciado pede a reparametrização por comprimento de arco (isto é, unit-speed) da curva
Em geral, para reparametrizar por comprimento de arco precisamos verificar se o parâmetro dado já satisfaz
. Se sim, então
já é o parâmetro de comprimento de arco.
Passo 2
Calculemos a derivada
.
Como
Como
temos
Logo
Passo 3
Agora o módulo de
é
Como
para todo
, isso significa que
já mede exatamente o comprimento de arco contado a partir de
.
Passo 4
Concluímos que a própria parametrização
é unit-speed. Se quisermos trocar o nome do parâmetro para
, basta definir
com
variando no mesmo intervalo de
.
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco é
pois já satisfaz
.