Reparametrize pelo comprimento de arco a curva dada:
r(t)=(e^2 t cos (2 t), 2, e^2 t sen(2 t)), 0 <= t.

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
r(t)=l(e^2tcos(2t),,2,,e^2tsin(2t)r), t>=0
pelo comprimento de arco s.
Conteúdo: cálculo de derivada vetorial, norma, integral para comprimento de arco e inversão da relação s(t).

Passo 2

Calcular a derivada r'(t) e sua norma.
Derivando componente a componente:
ddtl(e^2tcos2tr) = e^2t(2cos2t-2sin2t) =2e^2t(cos2t-sin2t),
ddt(2)=0,
ddtl(e^2tsin2tr) = e^2t(2sin2t+2cos2t) =2e^2t(sin2t+cos2t)
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r'(t) =l(2e^2t(cos2t-sin2t),,0,,2e^2t(sin2t+cos2t)r)
A norma é
|r'(t)| =2e^2traiz(cos2t-sin2t)^2+(sin2t+cos2t)^2 =2e^2traiz2 =2raiz2,e^2t

Passo 3

Obter o comprimento de arco s(t) a partir de t=0:
s(t)=integral0^t|r'(u)|,du =integral0^t2raiz2,e^2u,du =2raiz2cdote^2u2|0^t =raiz2,(e^2t-1)

Passo 4

Inverter a relação s(t)=raiz2,(e^2t-1).
Temos
e^2t=1+sraiz2,
t=12ln!l(1+sraiz2r)

Passo 5

Substituir t=t(s) em r(t). Note que e^2t=1+tfracsraiz2 e 2t=lnl(1+tfracsraiz2r). Assim
r(s) =l((1+tfracsraiz2)cos!ln(1+tfracsraiz2),, 2,, (1+tfracsraiz2)sin!ln(1+tfracsraiz2)r)

Resposta

boxed r(s) =l( l(1+tfracsraiz2r)cos!lnl(1+tfracsraiz2r),, 2,,l(1+tfracsraiz2r)sin!lnl(1+tfracsraiz2r)r), s>=0

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