Calcule a derivada das funções:
f(t)=(7 t^2+6 t)^7(3 t-1)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=l(7t^2+6tr)^7,(3t-1)^4
O conteúdo envolvido é a derivação de um produto de funções compostas, portanto vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(t)=l(7t^2+6tr)^7 e v(t)=(3t-1)^4
Assim f(t)=u(t),v(t) e, pela regra do produto,
f'(t)=u'(t),v(t)+u(t),v'(t)

Passo 3

Para u(t)=l(g(t)r)^7 com g(t)=7t^2+6t, aplicamos a regra da cadeia:
g'(t)=14t+6, u'(t)=7l(g(t)r)^6,g'(t) =7l(7t^2+6tr)^6(14t+6)

Passo 4

Para v(t)=l(h(t)r)^4 com h(t)=3t-1, também usamos a regra da cadeia:
h'(t)=3, v'(t)=4l(h(t)r)^3,h'(t) =4,(3t-1)^3cdot3 =12,(3t-1)^3

Passo 5

Substituindo u'(t), u(t), v'(t) e v(t) na regra do produto, obtemos
f'(t) =7l(7t^2+6tr)^6(14t+6),(3t-1)^4 +l(7t^2+6tr)^7,12,(3t-1)^3
Podemos fatorar o mínimo comum l(7t^2+6tr)^6(3t-1)^3, ficando
f'(t) =l(7t^2+6tr)^6(3t-1)^3 l[ 7(14t+6)(3t-1)+12(7t^2+6t) r]
Se expandirmos o colchete, resulta
7(14t+6)(3t-1)=294t^2+28t-42, 12(7t^2+6t)=84t^2+72t,
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7(14t+6)(3t-1)+12(7t^2+6t) =378t^2+100t-42

Resposta

boxed f'(t) =l(7t^2+6tr)^6(3t-1)^3l(378t^2+100t-42r)

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