Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada.
\delta(s)=\left(2 \cos \frac{s}{2}, 2 \operatorname{sen} \frac{s}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a reparametrização por comprimento de arco (isto é, unit-speed) da curva
\delta(s)=\bigl(2\cos\tfrac{s}{2},\,2\sin\tfrac{s}{2}\bigr).
Em geral, para reparametrizar por comprimento de arco precisamos verificar se o parâmetro dado já satisfaz \bigl\|\delta'(s)\bigr\|=1. Se sim, então s já é o parâmetro de comprimento de arco.

Passo 2

Calculemos a derivada \delta'(s).
Como
\delta(s)=\bigl(x(s),y(s)\bigr) \quad\text{com}\quad x(s)=2\cos\tfrac{s}{2},\quad y(s)=2\sin\tfrac{s}{2},
temos
x'(s)=-2\sin\tfrac{s}{2}\cdot\tfrac12=-\sin\tfrac{s}{2}, \quad y'(s)=2\cos\tfrac{s}{2}\cdot\tfrac12=\cos\tfrac{s}{2}.
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\delta'(s)=\Bigl(-\sin\tfrac{s}{2},\,\cos\tfrac{s}{2}\Bigr).

Passo 3

Agora o módulo de \delta'(s) é
\bigl\|\delta'(s)\bigr\| =\sqrt{\Bigl(-\sin\tfrac{s}{2}\Bigr)^2+\Bigl(\cos\tfrac{s}{2}\Bigr)^2} =\sqrt{\sin^2\tfrac{s}{2}+\cos^2\tfrac{s}{2}} =1.
Como \|\delta'(s)\|=1 para todo s, isso significa que s já mede exatamente o comprimento de arco contado a partir de s=0.

Passo 4

Concluímos que a própria parametrização \delta(s) é unit-speed. Se quisermos trocar o nome do parâmetro para t, basta definir
\gamma(t)=\delta(t) =\bigl(2\cos\tfrac{t}{2},\,2\sin\tfrac{t}{2}\bigr),
com t variando no mesmo intervalo de s.

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é
\gamma(t)=\bigl(2\cos\tfrac{t}{2},\,2\sin\tfrac{t}{2}\bigr),
pois já satisfaz \bigl\|\gamma'(t)\bigr\|=1.

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