Reparametrize pelo comprimento de arco a curva.
x=2 \cos t, y=4 t, z=2 \operatorname{sen} t ; t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
\mathbf{r}(t) = (\,2\cos t,\;4t,\;2\sin t), t\in[0,\pi/2],
e pede para reparametrizá-la pelo comprimento de arco s. Para isso, vamos usar a definição
s(t) \;=\;\int_{0}^{t}\bigl\|\mathbf{r}'(u)\bigr\|\mathrm{d}u,
inverter essa relação para achar t em função de s e, por fim, substituir na expressão de \mathbf{r}(t).

Passo 2

Calculamos a derivada
\mathbf{r}'(t) =\bigl(-2\sin t,\;4,\;2\cos t\bigr)
e seu módulo
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{(-2\sin t)^2 + 4^2 + (2\cos t)^2} =\sqrt{4(\sin^2 t+\cos^2 t) + 16} =\sqrt{20} =2\sqrt{5}.

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t) =\int_{0}^{t}2\sqrt{5}\,\mathrm{d}u =2\sqrt{5}\,t.
Como t vai de 0 até \pi/2, o intervalo de s é
s\in\bigl[0,\,2\sqrt{5}\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr] =[0,\,\pi\sqrt{5}].

Passo 4

Invertendo a relação s=2\sqrt{5}\,t, achamos
t = \frac{s}{2\sqrt{5}}.

Passo 5

Substituímos t(s)=\tfrac{s}{2\sqrt{5}} em \mathbf{r}(t) para obter a parametrização por comprimento de arco:
\mathbf{r}(s) =\Bigl( 2\cos\bigl(\tfrac{s}{2\sqrt{5}}\bigr),\; 4\cdot\tfrac{s}{2\sqrt{5}},\; 2\sin\bigl(\tfrac{s}{2\sqrt{5}}\bigr) \Bigr) = \Bigl( 2\cos\bigl(\tfrac{s}{2\sqrt{5}}\bigr),\; \tfrac{2\,s}{\sqrt{5}},\; 2\sin\bigl(\tfrac{s}{2\sqrt{5}}\bigr) \Bigr),
com s\in[0,\pi\sqrt{5}].

Resposta

\boxed{\mathbf{r}(s) =\biggl(2\cos\!\bigl(\tfrac{s}{2\sqrt{5}}\bigr),\;\tfrac{2s}{\sqrt{5}},\;2\sin\!\bigl(\tfrac{s}{2\sqrt{5}}\bigr)\biggr),\quad s\in[0,\pi\sqrt{5}].}

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