Reparametrize pelo comprimento de arco a curva.
\vec{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t}\right)

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva
\vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t,\;e^{t}\bigr)
pelo comprimento de arco s, tomando normalmente s=0 em t=0. Para isso, vamos (a) calcular a velocidade \|\vec r\,'(t)\|, (b) integrar para obter s(t), (c) inverter essa relação para t(s) e (d) substituir em \vec r(t).

Passo 2

Calculemos a derivada
\vec r\,'(t) =\bigl(\tfrac{d}{dt}[e^{t}\cos t],\;\tfrac{d}{dt}[e^{t}\sin t],\;\tfrac{d}{dt}[e^{t}]\bigr).
Usando a regra do produto e que \tfrac{d}{dt}e^t=e^t, \tfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \tfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, obtemos
\vec r\,'(t) =\bigl(e^t\cos t - e^t\sin t,\;e^t\sin t + e^t\cos t,\;e^t\bigr) =e^t\bigl(\cos t - \sin t,\;\sin t + \cos t,\;1\bigr).

Passo 3

O módulo da velocidade é
\|\vec r\,'(t)\| =\sqrt{e^{2t}\bigl[(\cos t - \sin t)^2+(\sin t + \cos t)^2+1\bigr]} =\sqrt{e^{2t}\,(1+1+1)} =\sqrt{3}\,e^t.

Passo 4

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\vec r\,'(u)\|\;du =\int_{0}^{t}\sqrt{3}\,e^{u}\;du =\sqrt{3}\,\bigl(e^{t}-1\bigr).

Passo 5

Invertendo para t em função de s, temos
s=\sqrt{3}\,(e^{t}-1) \quad\Longrightarrow\quad e^{t}=1+\frac{s}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad t(s)=\ln\!\Bigl(1+\frac{s}{\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 6

Substituindo t(s) em \vec r(t) obtemos a parametrização por arco
\vec R(s) =\vec r\bigl(t(s)\bigr) =\Bigl(\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\bigr)\cos\bigl(\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\bigr),\; \bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\bigr)\sin\bigl(\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\bigr),\; 1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\Bigr),
com s\ge0.

Resposta

\boxed{\vec R(s) =\Bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\Bigr)\Bigl(\cos\bigl(\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\bigr),\; \sin\bigl(\ln(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}})\bigr),\; 1\Bigr), \quad s\ge0.}

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