Escreva a função comprimento de arco.
\vec{r}(t)=\left(\operatorname{sen} \frac{t}{2}, \cos \frac{t}{2}, 2 t\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função comprimento de arco s(t) da curva parametrizada por \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(\operatorname{sen}\frac{t}{2},\;\cos\frac{t}{2},\;2t\bigr).
Para isso usamos a definição
s(t)=\int_{t_0}^{t}\bigl\|\vec{r}\,'(u)\bigr\|\,du,
normalmente com t_0=0 e a condição s(0)=0.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t) =\Bigl(\frac{d}{dt}\operatorname{sen}\frac{t}{2},\;\frac{d}{dt}\cos\frac{t}{2},\;\frac{d}{dt}(2t)\Bigr) =\Bigl(\tfrac12\cos\frac{t}{2},\;-\tfrac12\operatorname{sen}\frac{t}{2},\;2\Bigr).

Passo 3

Agora achamos a norma de \vec{r}\,'(t):
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac12\cos\frac{t}{2}\Bigr)^{2} +\Bigl(-\tfrac12\operatorname{sen}\frac{t}{2}\Bigr)^{2} +\bigl(2\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac14\bigl(\cos^2\tfrac{t}{2}+\operatorname{sen}^2\tfrac{t}{2}\bigr)+4} =\sqrt{\tfrac14+4} =\frac{\sqrt{17}}{2}.
Repare que é constante, não depende de t.

Passo 4

Substituímos no integral do comprimento de arco:
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\|\vec{r}\,'(u)\bigr\|\,du =\int_{0}^{t}\frac{\sqrt{17}}{2}\,du =\frac{\sqrt{17}}{2}\;t.
Escolhemos a constante de integração zero para satisfazer s(0)=0.

Resposta

s(t)=\frac{\sqrt{17}}{2}\;t.

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