Reparametrize pelo comprimento de arco a curva.
\vec{r}(t)=\left(e^{t} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t, e^{t}\right)

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar a curva \vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\operatorname{sen} t,\;e^{t}\bigr)
pelo comprimento de arco. O conteúdo principal é cálculo de comprimento de arco: vamos precisar de \vec{r}'(t), do seu módulo \|\vec{r}'(t)\|, integrar para achar s(t) e inverter essa relação para obter t em função de s.

Passo 2

Calcular a derivada \vec{r}'(t) componente a componente:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr) = e^{t}\cos t - e^{t}\operatorname{sen} t = e^{t}\bigl(\cos t - \operatorname{sen} t\bigr),
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\operatorname{sen} t\bigr) = e^{t}\operatorname{sen} t + e^{t}\cos t = e^{t}\bigl(\operatorname{sen} t + \cos t\bigr),
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.
Logo,
\vec{r}'(t) = \bigl(e^{t}(\cos t - \operatorname{sen} t),\;e^{t}(\operatorname{sen} t + \cos t),\;e^{t}\bigr).
O módulo é
\|\vec{r}'(t)\| = e^{t}\sqrt{(\cos t - \operatorname{sen} t)^{2}+(\operatorname{sen} t + \cos t)^{2}+1}.
Note que (\cos t - \operatorname{sen} t)^{2}+(\operatorname{sen} t + \cos t)^{2} =2,
portanto
\|\vec{r}'(t)\| = e^{t}\sqrt{2+1} = \sqrt{3}\,e^{t}.

Passo 3

O comprimento de arco desde um parâmetro inicial t_{0} até t é
s(t) = \int_{t_{0}}^{t}\|\vec{r}'(u)\|\,du = \int_{t_{0}}^{t}\sqrt{3}\,e^{u}\,du = \sqrt{3}\bigl(e^{t}-e^{t_{0}}\bigr).

Passo 4

Para simplificar, escolhemos t_{0}=0, de modo que s(0)=0. Então
s(t)=\sqrt{3}\bigl(e^{t}-1\bigr).
Invertendo essa relação para achar t em função de s:
e^{t}=1+\frac{s}{\sqrt{3}} \quad\Longrightarrow\quad t=\ln\!\Bigl(1+\frac{s}{\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 5

Substituindo t=t(s) em \vec{r}(t) obtemos a parametrização pelo comprimento de arco:
\vec{r}(s) =\Bigl(e^{t(s)}\cos t(s),\;e^{t(s)}\operatorname{sen} t(s),\;e^{t(s)}\Bigr) =\Bigl(\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\bigr)\cos\!\ln\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\bigr),\;\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\bigr)\operatorname{sen}\!\ln\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\bigr),\;1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\Bigr).

Resposta

\vec{r}(s) =\Bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\Bigr)\Bigl(\cos\!\ln\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\bigr),\;\operatorname{sen}\!\ln\bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{3}}\bigr),\;1\Bigr), \quad s\ge0.

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