Reparametrize pelo comprimento de arco as curvas: \mathbf{R}(t)=(2 \cos t, 2 \sin t, t), t \in[0,2 \pi].
Passo 1
O enunciado dá a curva \mathbf{R}(t)=(2\cos t,\,2\sin t,\,t) com t\in[0,2\pi] e pede para reparametrizá‑la pelo comprimento de arco.
Informações relevantes fornecidas:
A função \mathbf{R} tem três componentes: as duas primeiras formam uma circunferência de raio 2 no plano xy e a terceira é a coordenada z=t.
O parâmetro original é t em [0,2\pi].
O objetivo é obter uma nova parametrização \mathbf{\tilde R}(s) tal que s seja o comprimento de arco medido a partir de t=0 e que a velocidade em função de s tenha norma 1 (ou seja, unidade de velocidade).
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular a derivada \mathbf{R}'(t). Deriva‑se componente a componente; lembrando que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e \dfrac{d}{dt}t=1. Assim,
\mathbf{R}'(t)=(-2\sin t,\,2\cos t,\,1).
Explicação curta: a derivada dá o vetor velocidade em cada t, importante para medir o comprimento de arco.
Passo 3
Calcular a norma do vetor velocidade \|\mathbf{R}'(t)\|. Faz-se a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
confirmando que s é de fato o comprimento de arco e que a parametrização é com velocidade unitária.
Passo 7
Dica prática para a prova (curta e direta): quando a norma de \mathbf{R}'(t) for constante igual a c>0, então s=ct e a reparametrização por comprimento de arco é simplesmente substituir t por s/c em \mathbf{R}(t). Aqui c=\sqrt{5}, por isso t=s/\sqrt{5}.