Reparametrize pelo comprimento de arco as curvas:
\mathbf{R}(t)=(2 \cos t, 2 \sin t, t), t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá a curva \mathbf{R}(t)=(2\cos t,\,2\sin t,\,t) com t\in[0,2\pi] e pede para reparametrizá‑la pelo comprimento de arco.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função \mathbf{R} tem três componentes: as duas primeiras formam uma circunferência de raio 2 no plano xy e a terceira é a coordenada z=t.
  • O parâmetro original é t em [0,2\pi].
  • O objetivo é obter uma nova parametrização \mathbf{\tilde R}(s) tal que s seja o comprimento de arco medido a partir de t=0 e que a velocidade em função de s tenha norma 1 (ou seja, unidade de velocidade).

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a derivada \mathbf{R}'(t). Deriva‑se componente a componente; lembrando que \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t e \dfrac{d}{dt}t=1. Assim,
\mathbf{R}'(t)=(-2\sin t,\,2\cos t,\,1).
Explicação curta: a derivada dá o vetor velocidade em cada t, importante para medir o comprimento de arco.

Passo 3

Calcular a norma do vetor velocidade \|\mathbf{R}'(t)\|. Faz-se a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\|\mathbf{R}'(t)\|=\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2+1^2}=\sqrt{4\sin^2 t+4\cos^2 t+1}.
Usa‑se a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1, portanto
\|\mathbf{R}'(t)\|=\sqrt{4\cdot1+1}=\sqrt{5}.
Interpretação: a velocidade é constante e igual a \sqrt{5}. Isso simplifica muito a reparametrização.

Passo 4

Definir o comprimento de arco s como função de t a partir de t=0:
s(t)=\int_{0}^{t}\|\mathbf{R}'(u)\|\,du=\int_{0}^{t}\sqrt{5}\,du=\sqrt{5}\,t.
Verificações: s(0)=0 e s é crescente (linear) em t, logo invertível. Invertendo a relação obtemos
t=\dfrac{s}{\sqrt{5}}.

Passo 5

Substituir t=\dfrac{s}{\sqrt{5}} na parametrização original para obter a curva reparametrizada por comprimento de arco. Assim,
\mathbf{\tilde R}(s)=\mathbf{R}\!\left(\dfrac{s}{\sqrt{5}}\right)=\Bigl(2\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{5}}\bigr),\;2\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{5}}\bigr),\;\tfrac{s}{\sqrt{5}}\Bigr).
Determinar o intervalo de s: como t\in[0,2\pi] e s=\sqrt{5}\,t, tem‑se s\in[0,2\pi\sqrt{5}].

Passo 6

Checar que a parametrização é de velocidade unitária (útil para garantir que fizemos direitinho). Derivando em relação a s e usando regra da cadeia:
\frac{d}{ds}\mathbf{\tilde R}(s)=\mathbf{R}'\!\left(\tfrac{s}{\sqrt{5}}\right)\cdot\frac{d}{ds}\!\left(\tfrac{s}{\sqrt{5}}\right) =\mathbf{R}'\!\left(\tfrac{s}{\sqrt{5}}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{5}}.
A norma dessa derivada é
\left\|\frac{d}{ds}\mathbf{\tilde R}(s)\right\| =\dfrac{1}{\sqrt{5}}\bigl\|\mathbf{R}'\!\left(\tfrac{s}{\sqrt{5}}\right)\bigr\| =\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\sqrt{5}=1,
confirmando que s é de fato o comprimento de arco e que a parametrização é com velocidade unitária.

Passo 7

Dica prática para a prova (curta e direta): quando a norma de \mathbf{R}'(t) for constante igual a c>0, então s=ct e a reparametrização por comprimento de arco é simplesmente substituir t por s/c em \mathbf{R}(t). Aqui c=\sqrt{5}, por isso t=s/\sqrt{5}.

Resposta

\mathbf{\tilde R}(s)=\Bigl(2\cos\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{5}}\bigr),\;2\sin\!\bigl(\tfrac{s}{\sqrt{5}}\bigr),\;\tfrac{s}{\sqrt{5}}\Bigr),\quad s\in[0,2\pi\sqrt{5}]

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