Reparametrize pelo comprimento de arco as curvas:
\mathbf{R}(t)=(2, t-2 \pi, t), t \in[2 \pi, 4 \pi].

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{R}(t) = (2,\; t-2\pi,\; t),\qquad t\in[2\pi,4\pi],
e pede para reparametrizá-la pelo comprimento de arco. Ou seja, queremos uma nova parametrização \mathbf{r}(s) tal que s seja o comprimento de arco medido a partir do ponto inicial (normalmente tomado em t=2\pi) e \big\|\dfrac{d\mathbf{r}}{ds}\big\|=1. Também precisamos indicar o intervalo de s correspondente ao intervalo dado de t.

Passo 2

Primeiro calculemos a velocidade da curva original e sua norma (a velocidade escalar). Diferencie componente a componente:
\mathbf{R}'(t) = \frac{d}{dt}(2,\; t-2\pi,\; t) = (0,\;1,\;1).
A velocidade escalar (módulo da derivada) é
\big\|\mathbf{R}'(t)\big\| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}.
Observação importante: a velocidade é constante e igual a \sqrt{2}. Isso simplifica muito a reparametrização por comprimento de arco.

Passo 3

A definição do comprimento de arco s medido a partir de t=2\pi é
s(t)=\int_{2\pi}^{t}\big\|\mathbf{R}'(u)\big\|\,du.
Como \big\|\mathbf{R}'(u)\big\|=\sqrt{2} é constante, a integral é direta:
s(t)=\int_{2\pi}^{t}\sqrt{2}\,du = \sqrt{2}\,(t-2\pi).
Escolhemos a constante de integração de modo que s(2\pi)=0, o que é o padrão.

Passo 4

Invertendo s(t)=\sqrt{2}\,(t-2\pi) para obter t em função de s:
t = 2\pi + \frac{s}{\sqrt{2}}.
Agora determinamos o intervalo de s. Quando t=2\pi temos s=0. Quando t=4\pi temos
s_{\max} = \sqrt{2}\,(4\pi-2\pi)=\sqrt{2}\cdot 2\pi = 2\pi\sqrt{2}.
Portanto s\in[0,\;2\pi\sqrt{2}].

Passo 5

Substituímos t=t(s) na parametrização original para escrever a curva em função de s. Lembre que a segunda componente é t-2\pi e a terceira é t. Assim
\mathbf{r}(s) = \mathbf{R}\big(t(s)\big) = \Big(2,\; t(s)-2\pi,\; t(s)\Big) = \Big(2,\; \frac{s}{\sqrt{2}},\; 2\pi+\frac{s}{\sqrt{2}}\Big), \qquad s\in[0,\;2\pi\sqrt{2}].
É bom checar que essa parametrização tem velocidade unitária:
\frac{d\mathbf{r}}{ds} = \Big(0,\;\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\Big), \qquad \Big\|\frac{d\mathbf{r}}{ds}\Big\| = \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1.
Tudo certo: \mathbf{r}(s) é a reparametrização por comprimento de arco.

Resposta

\mathbf{r}(s)=\displaystyle\Big(2,\;\frac{s}{\sqrt{2}},\;2\pi+\frac{s}{\sqrt{2}}\Big),\qquad s\in\big[0,\;2\pi\sqrt{2}\big]

Exercícios relacionados