Calcule as integrais de superfície.
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S, sendo \mathbf{F}=(x,-2 x-y, 1) e S é o hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 ; z \geq 0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral de superfície (fluxo)
    \iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
    onde S é o hemisfério dado por \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\; z\ge 0\;.
  • A função vetorial dada é \mathbf{F}=(x,\,-2x-y,\,1).
  • Informações relevantes extraídas do enunciado:
    • A superfície S é a parte superior da esfera de raio 2 centrada na origem (ou seja, raio r=2).
    • Não foi especificada orientação; adotaremos a orientação “para fora” da bola (normal apontando radialmente para fora), que é a escolha natural quando se usa o Teorema da Divergência para superfícies que fazem parte de uma superfície fechada.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície: para uma superfície S com vetor normal unitário \mathbf{n},
    \iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
    mede quanto do campo “sai” através de S. Aqui \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é o produto escalar entre \mathbf{F} e a normal; se for positivo, o campo sai da região, se for negativo entra.
  • Teorema da Divergência (Gauss): se V é uma região do espaço com fronteira fechada \partial V e \mathbf{F} é suave em V, então
    \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV,
    onde \operatorname{div}\mathbf{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}+\dfrac{\partial F_3}{\partial z}. Aqui \mathbf{n} em \partial V é a normal externa à região V.
  • Estratégia prática: fechar o hemisfério S com o disco plano D no plano z=0 (o disco de raio 2) para formar a superfície fechada \partial V=S\cup D, aplicar o Teorema da Divergência e deduzir o fluxo em S a partir do fluxo total e do fluxo através do disco D.

Passo 3

Calcular a divergência de \mathbf{F}. Aqui \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)=(x,\,-2x-y,\,1). A divergência é
\operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(-2x-y)+\frac{\partial}{\partial z}(1).
Calculando cada derivada:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2x-y)=-1 (observe que -2x é constante em relação a y).
  • \dfrac{\partial}{\partial z}(1)=0.
Portanto
\operatorname{div}\mathbf{F}=1-1+0=0.

Passo 4

Aplicar o Teorema da Divergência ao volume V que é a meia-bola (região dentro da esfera de raio 2 com z\ge0). A fronteira fechada \partial V é a reunião do hemisfério S (curvo) com o disco D no plano z=0. Assim
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS+\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV.
Mas já vimos que \operatorname{div}\mathbf{F}=0, logo o volume integral é zero:
\iiint_{V}\operatorname{div}\mathbf{F}\,dV=0.
Logo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS+\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=0,
ou seja
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=-\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.
Aqui é importante ter clareza sobre as orientações: a normal \mathbf{n} usada nas integrais acima é a normal externa ao volume V. Para o hemisfério S a normal externa é a normal radial para fora; para o disco D (no plano z=0) a normal externa ao volume V aponta para baixo, isto é \mathbf{n}=-\mathbf{k}=(0,0,-1).

Passo 5

Calcular o fluxo através do disco D. No disco D temos z=0 e x^{2}+y^{2}\le 4. A normal externa (para baixo) é \mathbf{n}=(0,0,-1). Então o produto escalar é
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=(x,\,-2x-y,\,1)\cdot(0,0,-1)=-1.
Isso é constante em todo o disco. Portanto
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}(-1)\,dS=-\operatorname{Area}(D).
O disco tem raio 2, então \operatorname{Area}(D)=\pi\cdot 2^{2}=4\pi. Assim
\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=-4\pi.

Passo 6

Usar a relação do Passo 4 para obter o fluxo sobre o hemisfério S:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=-\iint_{D}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=-(-4\pi)=4\pi.
Interpretando: o fluxo através do hemisfério (com normal externa) é 4\pi.

Resposta

\;4\pi\;

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