Calcule as integrais de superfície.
, sendo
e
é o hemisfério
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
-
Pede calcular a integral de superfície (fluxo)onde
é o hemisfério dado por . -
A função vetorial dada é
. -
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície
é a parte superior da esfera de raio centrada na origem (ou seja, raio ). - Não foi especificada orientação; adotaremos a orientação “para fora” da bola (normal apontando radialmente para fora), que é a escolha natural quando se usa o Teorema da Divergência para superfícies que fazem parte de uma superfície fechada.
- A superfície
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma didática):
-
Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície: para uma superfície
com vetor normal unitário , mede quanto do campo “sai” através de. Aqui é o produto escalar entre e a normal; se for positivo, o campo sai da região, se for negativo entra. -
Teorema da Divergência (Gauss): se
é uma região do espaço com fronteira fechada e é suave em , então onde. Aqui em é a normal externa à região . -
Estratégia prática: fechar o hemisfério
com o disco plano no plano (o disco de raio ) para formar a superfície fechada , aplicar o Teorema da Divergência e deduzir o fluxo em a partir do fluxo total e do fluxo através do disco .
Passo 3
Calcular a divergência de
. Aqui
. A divergência é
Calculando cada derivada:
-
. -
(observe que é constante em relação a ). -
.
Portanto
Passo 4
Aplicar o Teorema da Divergência ao volume
que é a meia-bola (região dentro da esfera de raio
com
). A fronteira fechada
é a reunião do hemisfério
(curvo) com o disco
no plano
. Assim
Mas já vimos que
, logo o volume integral é zero:
Logo
ou seja
Aqui é importante ter clareza sobre as orientações: a normal
usada nas integrais acima é a normal externa ao volume
. Para o hemisfério
a normal externa é a normal radial para fora; para o disco
(no plano
) a normal externa ao volume
aponta para baixo, isto é
.
Passo 5
Calcular o fluxo através do disco
. No disco
temos
e
. A normal externa (para baixo) é
. Então o produto escalar é
Isso é constante em todo o disco. Portanto
O disco tem raio
, então
. Assim
Passo 6
Usar a relação do Passo 4 para obter o fluxo sobre o hemisfério
:
Interpretando: o fluxo através do hemisfério (com normal externa) é
.